这个包含无穷多项的数列可以转换为定积分进行计算吗？

一、题目

已知：

$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}+\frac{2^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n}\right)
\end{aligned}
$$

则：

$$
I \ = \ ?
$$

难度评级：

二、解析

分析可知，虽然本题与这道题目很类似，但是，要想使用定积分的定义将数列问题转换为定积分问题就必须产生类似 $\frac{i}{n}$ 的这种形式（其中，$i$ 是一个从 $1$ 到 $n$ 变化的变量，$n$ 是一个无穷大值）——

在本题中，我们只能找到 $i$, 找不到也很难构造出 $\frac{i}{n}$, 因此，本题不应该首先尝试使用定积分的定义进行求解，而应该尝试在放缩之后，使用夹逼定理。

由于当 $i=1$, $2$, $\cdots$, $n$ 的时候，有：

$$
\frac{i^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n} \leqslant \frac{i^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+i} \leqslant \frac{i^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}
$$

因此：

$$
\textcolor{orangered}{
\frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n} \leqslant \sum_{i=1}^{n} \frac{i^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+i} \leqslant \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1}
}
$$

小提示：
对于上面的推理步骤，如果我们进行一个简化就会相当好理解。
由于：
$\frac{i}{n+n}$ $\leqslant$ $\frac{i}{n+i}$ $\leqslant$ $\frac{i}{n+1}$

则：
$\frac{1}{n+n}$ $\leqslant$ $\frac{1}{n+i}$ $\leqslant$ $\frac{1}{n+1}$
$\frac{2}{n+n}$ $\leqslant$ $\frac{2}{n+i}$ $\leqslant$ $\frac{2}{n+1}$

进而：
$\left( \frac{1}{n+n} + \frac{2}{n+n} \right)$ $\leqslant$ $\left( \frac{1}{n+i} + \frac{2}{n+i} \right)$ $\leqslant$ $\left( \frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} \right)$

于是：
$\frac{1 + 2 + \cdots n}{n+n}$ $\leqslant$ $\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n+i}$ $\leqslant$ $\frac{1 + 2 + \cdots n}{n+1}$

由于：

$$
\textcolor{yellow}{
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}
}
$$

且当 $n \rightarrow \infty$ 时：

$$
\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} = \frac{n^{2} \cdot 2n}{6} = \frac{1}{3} n^{3}
$$

注意：
在计算 $\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$ 的时候，我们不需要将分子中的 $n(n+1)(2 n+1)$ 完全展开，因为，在 $n \rightarrow \infty$ 的情况下，我们只需要考虑 $n(n+1)$ “贡献”出来的 “$n^{2}$” 以及 $(2n+1)$ “贡献”出来的 “$2n$” 即可。

于是：

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}{n^{3}+n^{2}+n+1} & \Leftrightarrow \\ \\
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{1}{3} n^{3} }{n^{3}+n^{2}+n+n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{1}{3} n^{3} }{n^{3}+n^{2}+n+1} & \Leftrightarrow \\ \\
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{1}{3} n^{3} }{ n^{3} }=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{1}{3} n^{3} }{ n^{3} } & = \frac{1}{3}
\end{aligned}
$$

综上，根据夹逼定理可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
I = \frac{1}{3}
}
$$

---