题目
已知函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y} =$ $2(y+1)$, 且 $f(y,y) =$ $(y+1)^{2}-$ $(2-y) \ln y$, 求曲线 $f(x,y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积.
解析
由题知：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 2(y+1) \Rightarrow
$$
$$
f(x,y) = (y+1)^{2} + \mu(x). ①
$$
又：
$$
f(y,y) = (y+1)^{2} – (2-y) \ln y. ②
$$
对比 $①$ 式和 $②$ 式可知，当把 $f(y,y)$ 换成 $f(x,y)$ 之后，” $- (2-y) \ln y$ ” 就变成了 ” $- (2-x) \ln x$ “, 于是可知：
$$
\mu (x) = – (2-x) \ln x.
$$
即：
$$
f(x,y) = (y+1)^{2} + (x-2) \ln x. ③
$$
进一步分析可知，曲线 $(y+1)^{2} + (x-2) \ln x$ $= 0$ 所围成的图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积，其实就是曲线 $[(y-1)+1]^{2} + (x-2) \ln x$ $=0$ 所围成的图形绕直线 $y=0$, 也就是绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积，于是：
$$
[(y-1)+1]^{2} + (x-2) \ln x=0 \Rightarrow
$$
$$
y^{2} + (x-2) \ln x=0 \Rightarrow
$$
$$
y^{2} = (2-x) \ln x \Rightarrow
$$
$$
V = \pi \int_{1}^{2} y^{2} dx \Rightarrow
$$
注：
[1]. 在 $y^{2} = (2-x) \ln x$ 中，通过，令 $y^{2}=0$ （等同于令 $y=0$），即，令 $(2-x) \ln x = 0$ 的方式可以计算出曲线 $f(x,y)$ 在 $x$ 轴上的两个端点坐标。经过计算可知，这两个端点坐标分别为 $(1,0)$ 和 $(2,0)$, 于是可知，求旋转体体积时，积分下限为 $1$, 积分上限为 $2$.
$$
V = \pi \int_{1}^{2} (2-x) \ln x dx \Rightarrow
$$
$$
V = \pi[2 \int_{1}^{2} \ln x dx – \int_{1}^{2} x \ln x dx] \Rightarrow
$$
注：
[1]. $\int_{1}^{2} \ln x dx$ 和 $\int_{1}^{2} x \ln x dx$ 可以借助分部积分法求解，具体过程可以参考这两篇文章：文章一、文章二。
$$
V = \pi[2(x \ln x – x)|_{1}^{2} – (\frac{1}{2} x^{2} \ln x – \frac{1}{4}x^{2})|_{1}^{2}] \Rightarrow
$$
$$
V = \pi [2 (2 \ln 2 – 2 + 1) – (\frac{4}{2} \ln 2 – 1 + \frac{1}{4})] \Rightarrow
$$
$$
V = \pi[4 \ln 2 – 2 – 2 \ln 2 + \frac{3}{4}] \Rightarrow
$$
$$
V = (2 \ln 2 – \frac{5}{4}) \pi.
$$