2014年考研数二第21题解析：旋转体的体积、偏导数

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足 $\frac{\partial f}{\partial y}=$ $2(y+1)$, 且 $f(y,y)=$ $(y+1{)}^2-$ $(2-y)\ln y$, 求曲线 $f(x,y)=0$ 所围图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积.

解析

由题知：

$$\frac{\partial f}{\partial y}=2(y+1)\Rightarrow$$

$$f(x,y)=(y+1{)}^2+\mu (x).\mathrm{①}$$

又：

$$f(y,y)=(y+1{)}^2–(2-y)\ln y.\mathrm{②}$$

对比 $\mathrm{①}$ 式和 $\mathrm{②}$ 式可知，当把 $f(y,y)$ 换成 $f(x,y)$ 之后，” $-(2-y)\ln y$ ” 就变成了 ” $-(2-x)\ln x$ “, 于是可知：

$$\mu (x)=–(2-x)\ln x.$$

即：

$$f(x,y)=(y+1{)}^2+(x-2)\ln x.\mathrm{③}$$

进一步分析可知，曲线 $(y+1{)}^2+(x-2)\ln x$ $=0$ 所围成的图形绕直线 $y=-1$ 旋转所成旋转体的体积，其实就是曲线 $[(y-1)+1{]}^2+(x-2)\ln x$ $=0$ 所围成的图形绕直线 $y=0$, 也就是绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积，于是：

$$[(y-1)+1{]}^2+(x-2)\ln x=0\Rightarrow$$

$$y^2+(x-2)\ln x=0\Rightarrow$$

$$y^2=(2-x)\ln x\Rightarrow$$

$$V=\pi {\int }_1^2{y}^{2}dx\Rightarrow$$

注：

[1]. 在 $y^2=(2-x)\ln x$ 中，通过，令 $y^2=0$ （等同于令 $y=0$），即，令 $(2-x)\ln x=0$ 的方式可以计算出曲线 $f(x,y)$ 在 $x$ 轴上的两个端点坐标。经过计算可知，这两个端点坐标分别为 $(1,0)$ 和 $(2,0)$, 于是可知，求旋转体体积时，积分下限为 $1$, 积分上限为 $2$.

$$V=\pi {\int }_1^2(2-x)\ln xdx\Rightarrow$$

$$V=\pi [2{\int }_1^2\ln xdx–{\int }_1^{2}x\ln xdx]\Rightarrow$$

注：

[1]. ${\int }_1^2\ln xdx$ 和 ${\int }_1^{2}x\ln xdx$ 可以借助分部积分法求解，具体过程可以参考这两篇文章：文章一、文章二。

$$V=\pi [2(x\ln x–x){|}_1^2–(\frac{1}{2}{x}^2\ln x–\frac{1}{4}{x}^2){|}_1^2]\Rightarrow$$

$$V=\pi [2(2\ln 2–2+1)–(\frac{4}{2}\ln 2–1+\frac{1}{4})]\Rightarrow$$

$$V=\pi [4\ln 2–2–2\ln 2+\frac{3}{4}]\Rightarrow$$

$$V=(2\ln 2–\frac{5}{4})\pi .$$