题目
设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $\ln z + e^{z-1} = xy$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x} |_{(2,\frac{1}{2})}=?$
解析
本题就是隐函数求导。
本题要注意的关键点之一是字母 $z$ 的书写方式，因为，$z$ 这个字母写不好的话极易发生混淆。
关于 $z$ 的书写方式可以参考图 1:
由于要计算的式子中含有 $\frac{\partial z}{\partial x}$, 于是，在式子 $\ln z + e^{z-1} = xy$ 两端对 $x$ 求偏导，得：
$$
(\ln z)_{x}^{‘} + (e^{z-1})_{x}^{‘} = y \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} + e^{z-1} \frac{\partial z}{\partial x} = y \Rightarrow
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{\frac{1}{z}+e^{z-1}}. ①
$$
又因为，当 $x=2,y=\frac{1}{2}$ 时，有：
$$
\ln z + e^{z-1}=1.
$$
此时，必然有：
$$
z=1.
$$
将 $x,y,z$ 的数值带入 $①$ 式得：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\frac{1}{2}}{1
+1} = \frac{1}{4}.
$$
综上可知，正确答案为 $\frac{1}{4}$.
EOF