$x\ln x$的原函数是多少？

$x\ln x$ 的原函数是 $\frac{1}{2}{x}^2\ln x–\frac{1}{4}{x}^2+C$, 即：

$$\int x\ln xdx=\frac{1}{2}{x}^2\ln x–\frac{1}{4}{x}^2+C,\mathrm{其}\mathrm{中}C\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{常}\mathrm{数}。$$

具体计算过程如下（分部积分法）：

$$\int x\ln xdx\Rightarrow$$

$$x\cdot x\ln x–\int xd(x\ln x)\Rightarrow$$

$$x^2\ln x–\int x\cdot (\ln x+1)dx\Rightarrow$$

$$x^2\ln x–\int x\ln xdx–\int xdx.$$

于是，有：

$$\int x\ln xdx=x^2\ln x–\int x\ln xdx–\int xdx\Rightarrow$$

$$2\int x\ln xdx=x^2\ln x–\int xdx\Rightarrow$$

$$2\int x\ln xdx=x^2\ln x–\frac{1}{2}{x}^2+C\Rightarrow$$

$$\int x\ln xdx=\frac{1}{2}{x}^2\ln x–\frac{1}{4}{x}^2+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

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