$x \ln x$的原函数是多少？

$x \ln x$ 的原函数是 $\frac{1}{2} x^{2} \ln x – \frac{1}{4} x^{2} + C$, 即：

$$
\int x \ln x dx = \frac{1}{2} x^{2} \ln x – \frac{1}{4} x^{2} + C, 其中 C 为任意常数。
$$

具体计算过程如下（分部积分法）：

$$
\int x \ln x dx \Rightarrow
$$

$$
x \cdot x \ln x – \int x d(x \ln x) \Rightarrow
$$

$$
x^{2} \ln x – \int x \cdot (\ln x + 1) dx \Rightarrow
$$

$$
x^{2} \ln x – \int x \ln x dx – \int x dx.
$$

于是，有：

$$
\int x \ln x dx = x^{2} \ln x – \int x \ln x dx – \int x dx \Rightarrow
$$

$$
2 \int x \ln x dx = x^{2} \ln x – \int x dx \Rightarrow
$$

$$
2 \int x \ln x dx = x^{2} \ln x – \frac{1}{2} x^{2} + C \Rightarrow
$$

$$
\int x \ln x dx = \frac{1}{2} x^{2} \ln x – \frac{1}{4} x^{2} + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。