[高数]洛必达法则的适用条件

前言

在解题时,有时需要使用一次或者多次洛必达法则,但是,要特别注意的是,在每一次使用洛必达法则时都要想一想和检查一下使用洛必达法则的条件是否满足,以免发生错误。

正文

对式子 $\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)} \frac{f(x)}{g(x)}$ 使用洛必达法则需要同时满足以下三个条件:

(1) 形式为 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$.

在 $x \rightarrow x_{0}$ 或者 $x \rightarrow \infty$ 时,$f(x)$ 与 $g(x)$ 必须【都】趋向于零或者【都】趋向于无穷大,即能够形成 $\frac{0}{0}$ 不定式或者 $\frac{\infty}{\infty}$ 不定式。

(2) 可导.

在 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $x_{0}$ 的去心邻域内,或者在 $x \rightarrow \infty$ 的过程中,$f(x)$ 和 $g(x)$ 都必须可导,且 $g^{‘}(x) \neq 0$.

Tips:
$g^{‘}(x)$ 可以趋向于零,但是不能直接等于零,因为零不能作为分母。

(3) 整体的极限存在或为无穷大

$\lim_{x \rightarrow x_{0} (x \rightarrow \infty)} \frac{f(x)}{g(x)}$ 极限存在或者为无穷大。

补充

(1) 虽然从理论上讲,只要应用洛必达法则的过程能够同时满足上述三个条件,那么这个计算过程就是对的。但是,从实际计算的角度看,有些情况下,对一个式子连续使用超过三次洛必达法则就会导致计算所得到的式子变得比较复杂。因此,在需要多次使用洛必达法则的场景下,我们不能不加思考地一直使用洛必达,而是应该在每次使用之后都观察一下,是否可以把式子中已经能通过拆分组合的方式得出极限值的那部分给分离出来,使得剩下的【可以】且【需要】进行洛必达的式子变得简单一些,从而减少计算量。

(2) 洛必达法则是针对【函数】的一种计算方法,虽然一些【数列】也可以写成【函数的形式】,但是,由于数列是离散的,并不可导,因此,洛必达法则不能直接应用于数列极限的计算,但可以把数列改写成函数,使之具有连续且可导的性质后再使用洛必达法则。