自然常数 e 的那些事

自然常数的简介

一般情况下，我们使用字母 $\mathrm{e}$ 表示自然常数。自然常数有时候也被称为自然底数、欧拉数或者纳皮尔常数。

自然常数是一个无限不循环小数：

$\mathrm{e}$ $\simeq$ $2$ $.$ $7$ $1$ $8$ $2$ $8$ $1$ $8$ $2$ $8$ $4$ $5$ $9$ $0$ $4$ $5$ $2$ $3$ $5$ $3$ $6$ $0$ $2$ $8$ $7$ $4$ $7$ $1$ $3$ $5$ $2$ $6$ $6$ $2$ $4$ $9$ $7$ $7$ $5$ $7$ $2$ $4$ $7$ $0$ $9$ $3$ $6$ $9$ $9$ $9$ $5$ $9$ $5$ $7$ $4$ $9$ $6$ $6$ $9$ $6$ $7$ $6$ $2$ $7$ $7$ $2$ $4$ $0$ $7$ $6$ $6$ $3$ $0$ $3$ $5$ $3$ $5$ $4$ $7$ $5$ $9$ $4$ $5$ $7$ $1$ $3$ $8$ $2$ $1$ $7$ $8$ $5$ $2$ $5$ $1$ $6$ $6$ $4$ $2$ $7$ $4$ $2$ $7$ $4$ $6$ $\cdots$

此外，自然常数 $\mathrm{e}$ 还是人类历史上目前已知的第一个非刻意构造的获得验证的超越数。

自然常数的定义

首次对 $\mathrm{e}$ 进行定义的是数学家雅各布·伯努利，而他当初对 $\mathrm{e}$ 的定义式一直沿用至今，即：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x})}^x=e$$

上面这个式子表示的是将 $1$ 与无穷大相加，并自乘无穷多次。

当然，对于自然常数 $\mathrm{e}$ 还有一些等价定义式，其中一个比较特别的等价定义式是通过级数定义的：

$$\begin{array}{r}\mathrm{e}\\ \\ =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}\\ \\ =& \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots \end{array}$$

自然常数的计算

已知，当 $n>0$ 时，有二项式定理为：

$$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^k$$

于是，我们就可以得到关于 $\mathrm{e}$ 的计算方式：

$$\begin{array}{r}e\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=0}^n{C}_i^n{1}^{n–i}{\left(\frac{1}{n}\right)}^i\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[C_0^n{1}^n{\left(\frac{1}{n}\right)}^0+C_1^n{1}^{n-1}{\left(\frac{1}{n}\right)}^1+C_2^n{1}^{n-2}{\left(\frac{1}{n}\right)}^2+C_3^n{1}^{n-3}{\left(\frac{1}{n}\right)}^3+\cdots +C_n^n{1}^0\left(\frac{1}{n}\right)]\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[1\times 1+n\times \frac{1}{n}+\frac{n!}{(n-2)!2!}\times \frac{1}{n^2}+\frac{n!}{(n-3)!3!}\times \frac{1}{n^3}+\dots +1\times \frac{1}{n^n}]\\ \\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[1+1+\frac{n\times (n-1)}{2n^2}+\frac{n\times (n-1)(n-2)}{3\times 2n^3}+\dots +\frac{1}{n^n}]\\ \\ & =2+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\dots \\ \\ & =2+0.5+0.1666\cdots +\cdots \\ \\ & =2.71828\cdots \end{array}$$

自然常数的应用

欧拉的“宝石”

自然常数 $\mathrm{e}$、圆周率 $\pi$ 和虚数单位 $i$ 可以组成著名的“欧拉恒等式”，而这个恒等式不仅将 $\mathrm{e}$, $\pi$ 和 $i$ 结合了起来，还十分简洁，闪耀着数学深邃且优雅的光芒：

$${\mathrm{e}}^{i\pi }+1=0$$

$\sqrt[x]{x}$ 的极大值

函数 $y$ $=$ $\sqrt[x]{x}$ 的极大值在 $x=e$ 处，如图 02 所示：

无穷连分数

$\mathrm{e}$ 的无穷连分数非常具有规律，由此也表明 $\mathrm{e}$ 的确是一个很特别的量：

$$\mathrm{e}=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\text{4}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\text{6}+\frac{1}{1+\cdots }}}}}}}}}$$

上面的连分式还可以表示为：

$$\begin{array}{r}\mathrm{e}\\ \\ & =[2;1,2,1,1,\text{4},1,1,\text{6},1,1,\text{8},1,1,\text{10},1,1,\text{12},\dots ]\end{array}$$

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