由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性

一、题目

(A) $f(–x)$ $>$ $g(–x)$

(B) $f^{\prime }(x)$ $<$ $g^{\prime }(x)$

(C) ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $<$ ${\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$

(D) $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ $<$ $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$

难度评级：

二、解析

因为函数 $f(x)$, $g(x)$ 可导，所以函数 $f(x)$, $g(x)$ 一定连续，于是有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \{\begin{array}{ll}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)& =f\left(x_0\right)\\ \\ \underset{x\to x_0}{lim}g(x)& =g\left(x_0\right)\end{array}\end{array}$$

又因为，在区间 $(–\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 上有 $f(x)$ $<$ $g(x)$, 由极限的保号性可知，在点 $x$ $=$ $x_0$ 的某去心邻域内必有：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)⩽\underset{x\to x_0}{lim}g(x)$$

即下式一定成立：

$$\underset{\mathit{x}\mathbf{\to }{\mathit{x}}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{lim}}\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{<}\underset{\mathit{x}\mathbf{\to }{\mathit{x}}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{lim}}\mathit{g}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}$$

因此，D 选项正确。

* 对于 A 选项，可以取 $f(x)$ $=$ $0$, $g(x)$ $=$ $1$, 则 $f(-x)$ $=$ $0$, $g(-x)$ $=$ $1$，因此 A 选项不正确；

** 对于 B 选项，也可以取 $f(x)$ $=$ $0$, $g(x)$ $=$ $1$, 则 $f^{\prime }(x)$ $=$ $0$, $g^{\prime }(x)$ $=$ $0$，因此 B 选项不正确；

*** 对于 C 选项，当变限积分中的 $x>0$ 时，${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ $>$ $0$, ${\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$ $>$ $0$, 所以在 $f(x)$ $<$ $g(x)$ 的情况下，下式成立：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t<{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$$

但是，当 $x=0$ 时，有：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t={\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t=0$$

当 $x⩽0$ 时，由于 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$ 是一个比 ${\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$ 小的负数，${\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$ 本身也是一个负数，所以有：

$${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t>{\int }_0^{x}g(t)\mathrm{d}t$$

综上可知，本 题 应 选 D