扩展的无穷限和无界函数的反常积分审敛法

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将给出扩展的无穷限的反常积分比阶审敛法和扩展的无界函数的反常积分比阶审敛法。

二、正文

扩展的无穷限的反常积分比阶审敛法

已知，函数 $\textcolor{springgreen}{f ( x )}$, $\textcolor{orangered}{g ( x )}$ 在区间 $[ a , + \infty )$ 内的任意有限区间上可积，$\textcolor{springgreen}{f ( x )}$, $\textcolor{orangered}{g ( x )}$ 非负，且：

$$
\lim _{ x \rightarrow + \infty } \frac { \textcolor{springgreen}{f ( x )} } { \textcolor{orangered}{g ( x )} } = \lambda
$$

则：

[1] 当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$\textcolor{springgreen}{f(x)}$ 和 $\textcolor{orangered}{g(x)}$ 在大小上是同阶的，因此，$\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 与 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 具有 相 同 的 敛 散 性 ；

[2] 当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $\textcolor{orangered}{g(x)}$ 在大小上比 $\textcolor{springgreen}{f(x)}$ 高阶，因此，若 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ，则 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ；若 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 ，则 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 ；

[3] 当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$\textcolor{springgreen}{f(x)}$ 在大小上比 $\textcolor{orangered}{g(x)}$ 高阶，因此，若 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ，则 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ；若 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 ，则 $\int _{ a } ^ { + \infty } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 。

扩展的无界函数的反常积分比阶审敛法

已知，函数 $\textcolor{springgreen}{f ( x )}$, $\textcolor{orangered}{g ( x )}$ 在 $( a , b ]$ 内的任意有限区间上可积，$\textcolor{springgreen}{f ( x )}$, $\textcolor{orangered}{g ( x )}$ 非负，且：

$$
\lim _{ x \rightarrow a ^ { + } } \frac { \textcolor{springgreen}{f ( x )} } { \textcolor{orangered}{g ( x )} } = \lambda
$$

则：

[1] 当 $\lambda$ $\neq$ $0$ 时，$\textcolor{springgreen}{f(x)}$ 和 $\textcolor{orangered}{g(x)}$ 在大小上是同阶的，因此，$\int _{ a } ^ { b } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 与 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 具有 相 同 的 敛 散 性 ；

[2] 当 $\lambda$ $=$ $0$ 时， $\textcolor{orangered}{g(x)}$ 在大小上比 $\textcolor{springgreen}{f(x)}$ 高阶，因此，若 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ，则 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ；若 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 ，则 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 ；

[3] 当 $\lambda$ $=$ $\infty$ 时，$\textcolor{springgreen}{f(x)}$ 在大小上比 $\textcolor{orangered}{g(x)}$ 高阶，因此，若 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ，则 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 收 敛 ；若 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{orangered}{g ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 ，则 $\int _{ a } ^ { b } \textcolor{springgreen}{f ( x )} \mathrm { d } x$ 发 散 。

---