2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法)

题目

设有两个数列 [latex]\{a_{n}\}[/latex], [latex]\{b_{n}\}[/latex], 若 [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=0[/latex], 则()

( A ) 当 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}[/latex] 收敛时,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}[/latex] 收敛.

( B ) 当 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}[/latex] 发散时,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}[/latex] 发散.

( C ) 当 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}|[/latex] 收敛时,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2}[/latex] 收敛.

( D ) 当 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}|[/latex] 发散时,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2}[/latex] 发散.

解析

由题目信息可知,当 [latex]n \rightarrow \infty[/latex] 时,数列 [latex]\{a_{n}\}[/latex] 是收敛的。

方法一:反例法

A 项:

令 [latex]a_{n}=b_{n}=(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}.[/latex]

则此时 [latex]\{a_{n}\}[/latex] 是一个收敛数列,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}[/latex] 也收敛(根据交错级数的莱布尼茨准则判别法可得此结论),但 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/latex] 发散(由常见级数的敛散性可得此结论)。

由此构成了对 A 项的反例,A 项错误。

注 1. 交错级数 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}(u_{n}>0)[/latex] 的判别法(莱布尼茨准则):

若交错级数 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}(u_{n}>0)[/latex] 满足如下条件:

① [latex]u_{n} \geqslant u_{n+1},(n = 1,2,3, \dotsc);[/latex]

② [latex]\lim u_{n} = 0,[/latex]

则交错级数收敛,其和 [latex]S \leqslant u_{1}[/latex], 余项 [latex]|R_{n}| \leqslant u_{n+1}.[/latex]

注 2. 常见级数的敛散性:

[latex]p[/latex] 级数 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{matrix} 收敛 & p>1,\\ 发散 & p \leqslant 1. \end{matrix}\right.[/latex]

B 项:

令 [latex]a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}[/latex], 则

[latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.[/latex]

此时,数列 [latex]\{a_{n}\}[/latex] 是一个收敛数列,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}[/latex] 是发散的,但是 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} [/latex] 是收敛的。

由此构成了对 B 项的反例,B 项错误。

D 项:

和 B 项一样,令 [latex]a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}[/latex], 则 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}}[/latex] 是收敛的。

由此构成了对 D 项的反例,D 项错误。

综上可知,排除了 A,B,D 三个选项后,正确选项一定是 C 项。

方法二:用级数收敛的必要条件推导证明

我们可以使用级数收敛的必要条件直接证明 C 项正确。

级数 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 收敛的必要条件:[latex]\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0.[/latex]

由于 [latex]\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0[/latex] 是级数 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 收敛的必要条件,因此,根据“小充分大必要”的原则,我们知道:

[latex]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 收敛 [latex]\Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0;[/latex]

[latex]\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 \nRightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 收敛。

由于 [latex]\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0[/latex], 从而存在 [latex]M>0[/latex], 有 [latex]|a_{n}| \leqslant M[/latex], 即:

[latex]a_{n}^{2}b_{n}^{2} \leqslant M^{2}b_{n}^{2}.[/latex]
又因为 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}|[/latex] 收敛,故有:

[latex]\lim_{n \rightarrow \infty}|b_{n}|=0.[/latex]

又根据如下定理:

设 [latex]c[/latex] 为非零常数,则 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 与 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}cu_{n}[/latex] 具有相同的敛散性。

因此,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}M^{2}|b_{n}|[/latex] 收敛,即:

[latex]\lim_{n=1}^{\infty}M^{2}|b_{n}|=0.[/latex]

于是:

[latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{M^{2}|b_{n}||b_{n}|}{|b_{n}|}=\lim_{n \rightarrow \infty}M^{2}|b_{n}|=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{M^{2}b_{n}^{2}}{|b_{n}|}=0.[/latex]

接下来,根据“比较判别法的极限形式”:

设 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 与 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}[/latex] 均为正项级数,且 [latex]\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}=A(v_{n} \neq 0).[/latex]

① 若 [latex]0 \leqslant A \leqslant +\infty[/latex], 且 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}[/latex] 收敛,则 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 收敛.

② 若 [latex]0 \leqslant A \leqslant +\infty[/latex], 且 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}[/latex] 发散,则 [latex]\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}[/latex] 发散.

于是我们知道,[latex]\sum_{n=1}^{\infty}{M^{2}b_{n}^{2}}[/latex] 收敛。

又因为 [latex]a^{2}b^{2} \leqslant M^{2}b^{2}[/latex], 所以:

[latex]\sum_{n=1}^{\infty}{a^{2}b_{n}^{2}}[/latex] 收敛.

由此得证 C 项正确。

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