2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法)

题目

设有两个数列 \{a_{n}\}, \{b_{n}\}, 若 \lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=0, 则()

( A ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 收敛时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} 收敛.

( B ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 发散时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} 发散.

( C ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 收敛时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2} 收敛.

( D ) 当 \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 发散时,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2} 发散.

解析

由题目信息可知,当 n \rightarrow \infty 时,数列 \{a_{n}\} 是收敛的。

方法一:反例法

A 项:

a_{n}=b_{n}=(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}.

则此时 \{a_{n}\} 是一个收敛数列,\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 也收敛(根据交错级数的莱布尼茨准则判别法可得此结论),但 \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} 发散(由常见级数的敛散性可得此结论)。

由此构成了对 A 项的反例,A 项错误。

注 1. 交错级数 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}(u_{n}>0) 的判别法(莱布尼茨准则):

若交错级数 \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_{n}(u_{n}>0) 满足如下条件:

u_{n} \geqslant u_{n+1},(n = 1,2,3, \dotsc);

\lim u_{n} = 0,

则交错级数收敛,其和 S \leqslant u_{1}, 余项 |R_{n}| \leqslant u_{n+1}.

注 2. 常见级数的敛散性:

p 级数 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{matrix} 收敛 & p>1,\\ 发散 & p \leqslant 1. \end{matrix}\right.

B 项:

a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}, 则

\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.

此时,数列 \{a_{n}\} 是一个收敛数列,\sum_{n=1}^{\infty}b_{n} 是发散的,但是 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} 是收敛的。

由此构成了对 B 项的反例,B 项错误。

D 项:

和 B 项一样,令 a_{n}=b_{n}=\frac{1}{n}, 则 \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}b_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{4}} 是收敛的。

由此构成了对 D 项的反例,D 项错误。

综上可知,排除了 A,B,D 三个选项后,正确选项一定是 C 项。

方法二:用级数收敛的必要条件推导证明

我们可以使用级数收敛的必要条件直接证明 C 项正确。

级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛的必要条件:\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0.

由于 \lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 是级数 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛的必要条件,因此,根据“小充分大必要”的原则,我们知道:

\sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛 \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0;

\lim_{n \rightarrow \infty} u_{n}=0 \nRightarrow \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛。

由于 \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0, 从而存在 M>0, 有 |a_{n}| \leqslant M, 即:

a_{n}^{2}b_{n}^{2} \leqslant M^{2}b_{n}^{2}.
又因为 \sum_{n=1}^{\infty}|b_{n}| 收敛,故有:

\lim_{n \rightarrow \infty}|b_{n}|=0.

又根据如下定理:

c 为非零常数,则 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\sum_{n=1}^{\infty}cu_{n} 具有相同的敛散性。

因此,\sum_{n=1}^{\infty}M^{2}|b_{n}| 收敛,即:

\lim_{n=1}^{\infty}M^{2}|b_{n}|=0.

于是:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{M^{2}|b_{n}||b_{n}|}{|b_{n}|}=\lim_{n \rightarrow \infty}M^{2}|b_{n}|=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{M^{2}b_{n}^{2}}{|b_{n}|}=0.

接下来,根据“比较判别法的极限形式”:

\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}\sum_{n=1}^{\infty}v_{n} 均为正项级数,且 \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}=A(v_{n} \neq 0).

① 若 0 \leqslant A \leqslant +\infty, 且 \sum_{n=1}^{\infty}v_{n} 收敛,则 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 收敛.

② 若 0 \leqslant A \leqslant +\infty, 且 \sum_{n=1}^{\infty}v_{n} 发散,则 \sum_{n=1}^{\infty}u_{n} 发散.

于是我们知道,\sum_{n=1}^{\infty}{M^{2}b_{n}^{2}} 收敛。

又因为 a^{2}b^{2} \leqslant M^{2}b^{2}, 所以:

\sum_{n=1}^{\infty}{a^{2}b_{n}^{2}} 收敛.

由此得证 C 项正确。

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