2013 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,a 为常数且大于零,则 P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=____.

解析

本题涉及的知识点是指数分布。

指数分布中随机变量的取值区间是 [0,\infty), 如果一个随机变量呈指数分布,则可以记作:

X \sim E(\lambda),(\lambda > 0).

在指数分布(以及其他连续性随机变量的概率模型)中有两个和概率有关的函数,分别是“概率密度函数”和“概率分布函数”。

首先我们需要搞清楚“概率密度函数”和“概率分布函数”的区别,这样我们才能知道该用哪个公式解答本题。

概率密度函数

连续性随机变量中的“概率密度函数”对应于离散型随机变量中的“概率函数”。概率密度函数描述的是单独一个特定的随机变量的概率。

指数分布的概率密度函数公式表示如下:

f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0& \\ 0,x \leqslant 0& \end{matrix}\right.

上面的概率密度函数中,x 为随机变量。

概率分布函数

连续性随机变量中的“概率分布函数”对应于离散型随机变量中的“概率分布列表”。概率分布函数描述的是一系列(通常是整个概率模型取值范围内)的随机变量对应的概率。

指数分布的概率分布函数公式表示如下:

F(x;\lambda )=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x},x \geqslant 0& \\ 0,x < 0& \end{matrix}\right.

上面的概率分布函数中,x 为随机变量,\lambda 为率参数,\lambda 描述的是每单位时间内发生某事件的次数。

根据上面的概率分布函数,我们知道,在服从参数 \lambda 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{-\lambda x},(x>0)

此外,如果令 \theta = \frac{1}{\lambda}, 则在服从参数为 \theta 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{- \frac{x}{\theta }},(x>0)

经过上面的分析,再结合题目中给出的信息,我们现在知道,应该使用指数分布中的概率分布函数解答本题。

由于该指数分布的参数为 1, 于是我们知道 \lambda = 1.
之后,根据条件概率公式:

P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} , (P(A) > 0.)

我们可以对原式作如下转换:

P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=\frac{P(Y \leqslant a + 1) \cap P(Y > a)}{P(Y>a)}=\frac{P( a < Y \leqslant a+1)}{P(Y>a)}=\frac{ F(a+1)-F(a)}{ 1 - F(a) }=\frac{1-e^{-(a+1)}-(1-e^{-a})}{1-(1-e^{-a})}=\frac{-e^{-(a+1)}+e^{-a}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}-e^{-a-1}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}(1-e^{-1})}{e^{-a}}=1-e^{-1}.

综上可知,本题的正确选项是:1-e^{-1}

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