题目
求曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
解析
设题中曲线上的点的坐标为 $(x,y)$, 则，该点到坐标原点 $(0,0)$ 的距离为：
$$
d = \sqrt{(x-0)^{2} + (y-0)^{2}} \Rightarrow
$$
$$
d = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
$$
于是，题意就是让我们求 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 在 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ 这个条件下的最大值和最小值。
不过，为了后面的计算更加方便，我们可以将本题化简一下，即改为：求 $x^{2} + y^{2}$ 在 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ 这个条件下的最大值和最小值，之后再将得到的结果代入 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 中计算即可。由于 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 与 $x^{2} + y^{2}$ 的增减性一致，因此可知，这种简化方法是可行的。
首先，利用拉格朗日乘数法求出条件极值（用该法求出的极值可能是极大值，也可能是极小值，后面还需要验证。）
令：
$$
F(x,y,\lambda) =
$$
$$
x^{2} + y^{2} + \lambda(x^{3} – xy + y^{3} -1).
$$
于是，有：
$$
\left\{\begin{matrix}
F_{x}^{‘}=2x + \lambda(3x^{2} – y);\\
F_{y}^{‘}=2y+\lambda(3y^{2} – x);\\
F_{\lambda}^{‘}=x^{3} – xy + y^{3} – 1.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
令：
$$
\left\{\begin{matrix}
F_{x}^{‘}=2x + \lambda(3x^{2} – y)=0;\\
F_{y}^{‘}=2y+\lambda(3y^{2} – x)=0;\\
F_{\lambda}^{‘}=x^{3} – xy + y^{3} – 1=0.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
2x + 3 \lambda x^{2} – \lambda y=0; ①\\
2y+3 \lambda y^{2} – \lambda x=0; ②\\
x^{3} – xy + y^{3} – 1=0. ③
\end{matrix}\right.
$$
观察可知，对于上面的方程组，当我们把 $x$ 换成 $y$, 再把 $y$ 换成 $x$, 即可将 $①$ 式变成 $②$ 式，同理也可以将 $②$ 式变成 $①$ 式，于是可知：
$$
x=y; y=x.
$$
接着，将 $y=x$ 代入 $③$ 式可得：
$$
x^{3} – x^{2} + x^{3} – 1 = 0 \Rightarrow
$$
$$
2x^{3} – x^{2} -1 = 0 \Rightarrow
$$
$$
2x^{3} – x^{2} =1 \Rightarrow
$$
$$
x^{2} (2x – 1) = 0 \Rightarrow
$$
$$
x=1.
$$
即，有：
$$
x = y = 1.
$$
于是，有极值为：
$$
d = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}.
$$
又由题知，$x^{3}-xy+y^{3}=1$ 是一个“曲线”，曲线都是不闭合的，因此，该曲线必有两个端点，一个端点位于 $x$ 取最小值的位置（即 $x=0$），另一个端点位于 $y$ 取最小值的位置（即 $y=0$）。
将 $x=0$ 代入 $x^{3}-xy+y^{3}=1$, 得：
$$
y=1.
$$
将 $y=0$ 代入 $x^{3}-xy+y^{3}=1$, 得：
$$
x=1.
$$
于是，曲线上这两个端点的坐标分别为：
$$
(0,1); (1,0).
$$
将这两个端点坐标分别代入 $d = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 可知，他们到原点的距离都是 $1$.
由于 $1<\sqrt{2}$, 于是可知：
曲线 $x^{3}-xy+y^{3}=1$ $(x \geqslant 0, y \geqslant 0)$ 上的点到坐标原点的最长距离为 $\sqrt{{2}}$, 最短距离为 $1$.