2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.$, 则 $E(X^{2})=$__.

二、解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

$P{X=k}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$, $(k=0,1,2,\dots).$

于是我们有:

$C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda}.$

由于在泊松分布中,$D(X)$ $=$ $E(X)$ $=$ $\lambda.$

而且我们知道 $D(X)$ 和 $E(X)$ 有如下关系:

$D(X)$ $=$ $E(X^2)-E^{2}(X)$ $\Rightarrow$ $E(X^{2})$ $=$ $D(X)$ $+$ $E^{2}(X)$ $=$ $\lambda$ $+$ $\lambda^{2}.$

因此,只要我们求出 $\lambda$ 的数值,也就是用 $C$ 表示出 $\lambda$ 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 $C=\lambda^{k}e^{-\lambda}$ 用 $C$ 表示出 $\lambda$ 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 $C$ 表达出 $\lambda$, 那么表达式中也会含有未知变量 $k$.

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 $E(X^{2})$, 就必须知道 $D(X)$ 和 $E^{2}(X)$, 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 $\lambda$ 的数值,而要知道 $\lambda$ 的数值必然需要通过已知的常数 $C$ 来确定,根据公式,$C$ 与 $\lambda$ 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

$\frac{C}{k!}$ $=$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.$

但是,上面这个公式中存在一个未知量 $k.$

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 $k$ 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 $k$ 的值,也没有可供解出 $k$ 的关系式。不过,既然要解出 $k$ 就先来想想 $k$ 的含义吧。

在泊松分布的定义中,$X$ 是随机变量,由泊松分布公式中的 “$P{X=k}$” 我们知道,$k$ 就是用来给 $X$ 赋值的,不同的 $k$ 值对应不同的概率,而 $k$ 的取值范围是 $0,1,2,\dots n.$ 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 $k$ 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 $1$, 即:

$\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$ $=$ $\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{C}{k!}$ $=$ $C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$ $=1.$

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) $e$ 的表示方法。

$e$ 有两种表示方法,如下:

方法一:$e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.$

方法二:$e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.$

注意:$0!=1.$

于是,我们有:

$C\sum_{k=0}^{\infty}$ $\frac{1}{k!}$ $=$ $Ce$ $=$ $1$ $\Rightarrow C$ $=$ $\frac{1}{e}$ $=$ $e^{-1}.$

又因为 $C$ $=$ $\lambda^{k}e^{-\lambda},$ 我们有:

$\lambda^{k}e^{-\lambda}$ $=$ $e^{-1}.$

于是有:

$\lambda$ $=$ $1$, $k=1.$

到这里就解出 $\lambda$ 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 $E(X^{2}):$

$E(X^2)$ $=$ $\lambda+\lambda^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1^{2}$ $=$ $1$ $+$ $1$ $=$ $2.$

综上可知,本题的正确答案是:$2$

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