题目
设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & a
\end{bmatrix}$ 相似于矩阵 $B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & b & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}$.
$(Ⅰ)$ 求 $a$, $b$ 的值；
$(Ⅱ)$ 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由于 $A \sim B$, 于是：
$$
|A| = |B|， tr(A) = tr(B) \Rightarrow
$$
$$
|A| = |B| \Rightarrow
$$
$$
-6-6 + 9 + 2a = b \Rightarrow
$$
$$
2a – 3 = b. ①
$$
$$
tr(A) = tr(B) \Rightarrow
$$
$$
a + 3 = b + 2 \Rightarrow
$$
$$
b = a + 1. ②
$$
结合 $①$ 式与 $②$ 式，可得：
$$
a = 4 , b = 5.
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
由第 $(Ⅰ)$ 问，可知：
$$
A=\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\\
-1 & 3 & -3\\
1 & -2 & 4
\end{bmatrix};
$$
$$
B=\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\\
0 & 5 & 0\\
0 & 3 & 1
\end{bmatrix}.
$$
于是：
$$
|\lambda E – B| = 0 \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
\lambda – 1 & 2 & 0\\
0 & \lambda – 5 & 0\\
0 & -3 & \lambda – 1
\end{vmatrix} = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda – 1)^{2} (\lambda – 5) = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 5.
$$
由于 $A \sim B$, 所以，矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 拥有相同的特征值，即矩阵 $A$ 的特征值也为：
$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1, \lambda_{3} = 5.
$$
接着，将 $\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1$ 代入 $(\lambda E – A) X = 0$, 得：
$$
(\lambda E – A) X = 0 \Rightarrow
$$
$$
(E – A) X = 0 \Rightarrow
$$
$$
E – A =
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3\\
1 & -2 & 3\\
-1 & 2 & -3
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
即，在矩阵 $A$ 中，属于特征值 $\lambda_{1} = \lambda_{2} = 1$ 的两个线性无关的特征向量分别为：
$$
\alpha_{1} = \begin{bmatrix}
2\\
1\\
0
\end{bmatrix};
$$
$$
\alpha_{2} = \begin{bmatrix}
-3\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
$$
同样的，将 $\lambda_{3} = 5$ 代入 $(\lambda E – A) X = 0$, 得：
$$
(\lambda E – A) X = 0 \Rightarrow
$$
$$
(5 E – A) X = 0 \Rightarrow
$$
$$
5 E – A \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
5 & -2 & 3\\
1 & 2 & 3\\
-1 & 2 & 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$
即，在矩阵 $A$ 中，属于特征值 $\lambda_{3} = 5$ 的特征向量为：
$$
\alpha_{3} = \begin{bmatrix}
-1\\
-1\\
1
\end{bmatrix}
$$
综上，当矩阵 $P = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$, 即 $P = \begin{bmatrix}
2 & -3 & -1\\
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}$ 时，可使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵，且：
$$
P^{-1} A P = \begin{bmatrix}
1 & & \\
& 1 & \\
& & 5
\end{bmatrix}.
$$