2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 [latex]X[/latex] 的概率分布为 [latex]P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.[/latex], 则 [latex]E(X^{2})=[/latex]__.

解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

[latex]P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).[/latex]

于是我们有:

[latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.[/latex]

由于在泊松分布中,[latex]D(X)=E(X)=\lambda.[/latex]

而且我们知道 [latex]D(X)[/latex] 和 [latex]E(X)[/latex] 有如下关系:

[latex]D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.[/latex]

因此,只要我们求出 [latex]\lambda[/latex] 的数值,也就是用 [latex]C[/latex] 表示出 [latex]\lambda[/latex] 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 [latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda}[/latex] 用 [latex]C[/latex] 表示出 [latex]\lambda[/latex] 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 [latex]C[/latex] 表达出 [latex]\lambda[/latex], 那么表达式中也会含有未知变量 [latex]k[/latex].

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 [latex]E(X^{2})[/latex], 就必须知道 [latex]D(X)[/latex] 和 [latex]E^{2}(X)[/latex], 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 [latex]\lambda[/latex] 的数值,而要知道 [latex]\lambda[/latex] 的数值必然需要通过已知的常数 [latex]C[/latex] 来确定,根据公式,[latex]C[/latex] 与 [latex]\lambda[/latex] 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

[latex]\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.[/latex]

但是,上面这个公式中存在一个未知量 [latex]k.[/latex]

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 [latex]k[/latex] 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 [latex]k[/latex] 的值,也没有可供解出 [latex]k[/latex] 的关系式。不过,既然要解出 [latex]k[/latex] 就先来想想 [latex]k[/latex] 的含义吧。

在泊松分布的定义中,[latex]X[/latex] 是随机变量,由泊松分布公式中的 “[latex]P{X=k}[/latex]” 我们知道,[latex]k[/latex] 就是用来给 [latex]X[/latex] 赋值的,不同的 [latex]k[/latex] 值对应不同的概率,而 [latex]k[/latex] 的取值范围是 [latex]0,1,2,\dots n.[/latex] 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 [latex]k[/latex] 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 [latex]1[/latex], 即:

[latex]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.[/latex]

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) [latex]e[/latex] 的表示方法。

[latex]e[/latex]

有两种表示方法,如下:

方法一:[latex]e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.[/latex]

方法二:[latex]e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.[/latex]

注意:[latex]0!=1.[/latex]

于是,我们有:

[latex]C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.[/latex]

又因为 [latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda},[/latex] 我们有:

[latex]\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.[/latex]

于是有:

[latex]\lambda=1,k=1.[/latex]

到这里就解出 [latex]\lambda[/latex] 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 [latex]E(X^{2}):[/latex]

[latex]E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.[/latex]

综上可知,本题的正确答案是:2

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