题目
设随机变量 [latex]X[/latex] 的概率分布为 [latex]P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.[/latex], 则 [latex]E(X^{2})=[/latex]__.
解析
根据题目中给出的分布函数（概率分布函数）的形式，我们可以知道，这是一个泊松分布。
泊松分布的公式如下：
[latex]P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).[/latex]
于是我们有：
[latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.[/latex]
由于在泊松分布中，[latex]D(X)=E(X)=\lambda.[/latex]
而且我们知道 [latex]D(X)[/latex] 和 [latex]E(X)[/latex] 有如下关系：
[latex]D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.[/latex]
因此，只要我们求出 [latex]\lambda[/latex] 的数值，也就是用 [latex]C[/latex] 表示出 [latex]\lambda[/latex] 就可以解出答案。
但是，这个思路是走不通的，一是因为通过 [latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda}[/latex] 用 [latex]C[/latex] 表示出 [latex]\lambda[/latex] 的计算十分复杂，其二是因为即便能够用 [latex]C[/latex] 表达出 [latex]\lambda[/latex], 那么表达式中也会含有未知变量 [latex]k[/latex].
因此可知，这道题还需要找一些隐含的条件，走另外的解题思路。
既然从源头开始想出来的解题思路有问题，那么我们就倒着想，看看为了计算出最终的结果，我们需要哪些条件。我们可以确定的是，无论采取哪种方法，要想解出 [latex]E(X^{2})[/latex], 就必须知道 [latex]D(X)[/latex] 和 [latex]E^{2}(X)[/latex], 因此（根据泊松分布的特性）我们需要知道 [latex]\lambda[/latex] 的数值，而要知道 [latex]\lambda[/latex] 的数值必然需要通过已知的常数 [latex]C[/latex] 来确定，根据公式，[latex]C[/latex] 与 [latex]\lambda[/latex] 同时出现的情况只在下面这个公式中存在：
[latex]\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.[/latex]
但是，上面这个公式中存在一个未知量 [latex]k.[/latex]
至此，无论我们接下来采取什么解题思路，一个首要的问题就是要移除未知量 [latex]k[/latex] 这个障碍。
如何移除呢？题目中并没有给出 [latex]k[/latex] 的值，也没有可供解出 [latex]k[/latex] 的关系式。不过，既然要解出 [latex]k[/latex] 就先来想想 [latex]k[/latex] 的含义吧。
在泊松分布的定义中，[latex]X[/latex] 是随机变量，由泊松分布公式中的 “[latex]P{X=k}[/latex]” 我们知道，[latex]k[/latex] 就是用来给 [latex]X[/latex] 赋值的，不同的 [latex]k[/latex] 值对应不同的概率，而 [latex]k[/latex] 的取值范围是 [latex]0,1,2,\dots n.[/latex] 根据概率分布函数的特点我们知道，在一次随机实验中，一定会有一个随机变量发生，如果我们手里有全部的随机变量，那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生，从整体上看这就是一个必然事件。
于是，我们知道，如果让 [latex]k[/latex] 取到所有可能取到的值并计算概率，之后把这些概率相加，那么和一定是 [latex]1[/latex], 即:
[latex]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.[/latex]
这里需要我们知道一个额外的知识点，就是自然常数（自然对数的底数） [latex]e[/latex] 的表示方法。
[latex]e[/latex]
有两种表示方法，如下：
方法一：[latex]e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.[/latex]
方法二：[latex]e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.[/latex]
注意：[latex]0!=1.[/latex]
于是，我们有：
[latex]C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.[/latex]
又因为 [latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda},[/latex] 我们有：
[latex]\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.[/latex]
于是有：
[latex]\lambda=1,k=1.[/latex]
到这里就解出 [latex]\lambda[/latex] 的数值了，再结合前面的分析，我们就可以解出 [latex]E(X^{2}):[/latex]
[latex]E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.[/latex]
综上可知，本题的正确答案是：2
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