题目
设随机变量 X 的概率分布为 P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots., 则 E(X^{2})=__.
解析
根据题目中给出的分布函数（概率分布函数）的形式，我们可以知道，这是一个泊松分布。
泊松分布的公式如下：
P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).于是我们有：
C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.由于在泊松分布中，D(X)=E(X)=\lambda.
而且我们知道 D(X) 和 E(X) 有如下关系：
D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.因此，只要我们求出 \lambda 的数值，也就是用 C 表示出 \lambda 就可以解出答案。
但是，这个思路是走不通的，一是因为通过 C=\lambda^{k}e^{-\lambda} 用 C 表示出 \lambda 的计算十分复杂，其二是因为即便能够用 C 表达出 \lambda, 那么表达式中也会含有未知变量 k.
因此可知，这道题还需要找一些隐含的条件，走另外的解题思路。
既然从源头开始想出来的解题思路有问题，那么我们就倒着想，看看为了计算出最终的结果，我们需要哪些条件。我们可以确定的是，无论采取哪种方法，要想解出 E(X^{2}), 就必须知道 D(X) 和 E^{2}(X), 因此（根据泊松分布的特性）我们需要知道 \lambda 的数值，而要知道 \lambda 的数值必然需要通过已知的常数 C 来确定，根据公式，C 与 \lambda 同时出现的情况只在下面这个公式中存在：
\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.但是，上面这个公式中存在一个未知量 k.
至此，无论我们接下来采取什么解题思路，一个首要的问题就是要移除未知量 k 这个障碍。
如何移除呢？题目中并没有给出 k 的值，也没有可供解出 k 的关系式。不过，既然要解出 k 就先来想想 k 的含义吧。
在泊松分布的定义中，X 是随机变量，由泊松分布公式中的 “P{X=k}” 我们知道，k 就是用来给 X 赋值的，不同的 k 值对应不同的概率，而 k 的取值范围是 0,1,2,\dots n. 根据概率分布函数的特点我们知道，在一次随机实验中，一定会有一个随机变量发生，如果我们手里有全部的随机变量，那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生，从整体上看这就是一个必然事件。
于是，我们知道，如果让 k 取到所有可能取到的值并计算概率，之后把这些概率相加，那么和一定是 1, 即:
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.这里需要我们知道一个额外的知识点，就是自然常数（自然对数的底数） e 的表示方法。
e有两种表示方法，如下：
方法一：e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.
方法二：e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.
注意：0!=1.
于是，我们有：
C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.又因为 C=\lambda^{k}e^{-\lambda}, 我们有：
\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.于是有：
\lambda=1,k=1.到这里就解出 \lambda 的数值了，再结合前面的分析，我们就可以解出 E(X^{2}):
E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.综上可知，本题的正确答案是：2
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