题目
设 $A$ 为三阶矩阵，$a_{1},a_{2},a_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, $A \alpha_{2} = \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$, $A \alpha_{3} = – \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$
解析
首先，“实特征值”就是为“实数”（不是虚数）的特征值。
由分块矩阵的性质可知：
关于分块矩阵的性质，可以参考这篇文章：《[线代]分块矩阵的运算》
$$
A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) = (A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, A \alpha_{3}).
$$
于是：
$$
A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) =
$$
$$
(2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{2}+2\alpha_{3},- \alpha_{2}+\alpha_{3}) =
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$
即：
$$
A(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) =
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{bmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$
设：
$$
P = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3});
$$
$$
Q =
\begin{bmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{bmatrix}.
$$
则有：
$$
AP=PQ.
$$
又由题知，$P$ 可逆，所以：
$$
P^{-1} A P = P^{-1} P Q \Rightarrow
$$
$$
P^{-1} A P = Q.
$$
即 $A$ 与 $Q$ 相似。
又因为，相似的矩阵有相同的特征值，所以，求 $A$ 的实特征值就是求 $Q$ 的实特征值。
$Q$ 的特征方程为：
$$
|\lambda E – Q| = 0.
$$
即：
$$
\begin{vmatrix}
\lambda& 0& 0\\
0& \lambda& 0\\
0& 0& \lambda
\end{vmatrix}
–
\begin{vmatrix}
2& 0& 0\\
1& 1& -1\\
1& 2& 1
\end{vmatrix}
=0 \Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
\lambda-2& 0& 0\\
-1& \lambda-1& 1\\
-1& -2& \lambda-1
\end{vmatrix}
=0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda -2)(\lambda -1)^{2} + 2(\lambda – 2) = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\lambda – 2)[(\lambda – 1)^{2} + 2] = 0. ①
$$
又因为，在实数范围内，一定有：
$$
(\lambda – 1)^{2} + 2 > 0.
$$
于是，在实数范围内，只有 $\lambda = 2$ 能使 $①$ 式成立。
综上可知，正确答案为 $2$.
EOF