2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续,其 2 阶导函数 f''(x) 的图形如图 1 所示,则曲线 y=f(x) 的拐点的个数为 ( )

( A ) 0.

( B ) 1.

( C ) 2.

( D ) 3.

图 1

解析

如图 2 所示,令左边的曲线与 x 轴的交点为点 x_{1}, 坐标原点为点 x_{2}, 右边曲线与 x 轴的交点为点 x_{3}:

图 2

由于本题涉及 2 阶导数,因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定:

若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左、右两侧邻域内异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x) 的拐点。

我们知道,对于连续函数的图像曲线而言,拐点处的图像曲线要么等于零,要么不存在。图 2 中的 x_{1},x_{2},x_{3} ( f''(x_{2}) 虽然不存在,但是由题目中给出的“函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续”的条件我们知道,f''(x_{2}) 在点 x_{2} 的左右两侧邻域是连续的,可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 x_{1} 两侧的函数都为正(f''(x) 的图像在 x 轴上方),因此,不满足“左右两侧邻域内异号”的条件,因此,点 x_{1} 不是函数 f(x) 的拐点。点 x_{2}x_{3} 两侧邻域的函数图像均异号,因此点 x_{2}x_{3} 满足函数拐点存在的充分条件,函数 f(x) 有两个拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

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