2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

一、题目

曲线 $\sin (xy)$ $+$ $\ln(y-x)$ $=x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为__.

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有:

$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;

$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$;

$(ab)’$ $=$ $a’b$ $+$ $ab’$;

$f'(x)$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.

求导过程中另外需要注意的两点如下:

  • 对 $x$ 求导,则包括 $x$ 和其他常量都要按照求导公式进行计算,而除了 $x$ 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: $’$) 即可,不进行求导计算;
  • 等式两边对同一变量求导后,等式仍然成立。因为求导前是等式,求导规则也一致,则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下:

$y$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $(x-x_{0})$.

解答思路如下:

由于切线方程的计算公式中包含导数 $f'(x)$,因此,首先需要计算出导数。原式两边同时对 $x$ 求导可以产生导数 $y’$:

$[\sin(xy)$ $+$ $\ln(y-x)]’$ $=$ $(x)’$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(x’y+xy’)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y-x)’$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(y$ $+$ $xy’$ $)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$.

要求的是曲线在点 $(0,1)$ 处的切线方程,因此,我们把 $x$ $=$ $0$; $y$ $=$ $1$带入上面的到的式子中,得:

$1$ $\cdot$ $1$ $+$ $1$ $\cdot$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $1$ $+$ $y’$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $y’$ $=$ $1$.

即:

$y'(0)$ $=$ $1$.

将上述结果带入切线方程求导公式得:

$y$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\cdot$ $($ $x$ $-$ $0$ $)$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

综上可知,本题得答案是:$y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

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