2008 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

题目

曲线 \sin (xy)+\ln(y-x)=x 在点 (0,1) 处的切线方程为__.

解析

本题需要用到求导法则和切线方程公式的相关知识。

需要用到的求导公式有:

(\sin x)'=\cos x; (\ln x)'=\frac{1}{x}; (ab)'=a'b+ab'; f'(x)=f'[\phi(x)]\cdot\phi'(x).

求导过程中另外需要注意的两点如下:

  • x 求导,则包括 x 和其他常量都要按照求导公式进行计算,而除了 x 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: ‘) 即可,不进行求导计算;
  • 等式两边对同一变量求导后,等式仍然成立。因为求导前是等式,求导规则也一致,则求导后等式两边仍然恒等。

切线方程的计算公式如下:

y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0}).

解答思路如下:

由于切线方程的计算公式中包含导数 f'(x),因此,首先需要计算出导数。原式两边同时对 x 求导可以产生导数 y'

[\sin(xy)+\ln(y-x)]'=(x)'\Rightarrow\cos(xy)(x'y+xy')+\frac{1}{y-x}(y-x)'=1\Rightarrow \cos(xy)(y+xy')+\frac{1}{y-x}(y'-1)=1

要求的是曲线在点 (0,1) 处的切线方程,因此,我们把 x=0;y=1带入上面的到的式子中,得:

1\cdot1+1\cdot(y'-1)=1\Rightarrow 1+y'-1=1\Rightarrow y'=1.

即:

y'(0)=1.

将上述结果带入切线方程求导公式得:

y-1=1\cdot(x-0)\Rightarrow y=x+1.

综上可知,本题得答案是:y=x+1

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