2024年考研数二第02题解析：一点处导数的定义、参数方程求导

一、题目

设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^{3} \\ y=e^{t^{2}}\end{array}\right.$ 确定, 则：

$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x\left[f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right]=(\quad)$

难度评级：

二、解析

首先：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x\left[f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right]=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)}{\frac{1}{x}}=
$$

$$
2 \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)}{\frac{2}{x}} = \textcolor{springgreen}{2 f^{\prime}(2)}
$$

于是，根据 $y=f(x) \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=1+t^{3} \\ y=e^{t^{2}}\end{array}\right.$ 可知：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ f^{\prime}(x) } & = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{d} y / \mathrm{d} t}{\mathrm{d} x / \mathrm{d} t} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \frac{2 t \cdot e^{t^{2}}}{3 t^{2}} }
\end{aligned}
$$

又因为当 $x = 2$ 时，可以推知 $t = 1$, 因此：

$$
2 f^{\prime}(2) = 2 \cdot \frac{2 \cdot e}{3} = \textcolor{springgreen}{ \frac{4 e}{3} }
$$

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