2024年考研数二第14题解析：这大概是整份试卷最简单的题目，但极易写错最终答案

一、题目

已知函数 $f(x)=\left(e^{x}+1\right) x^{2}$, 则 $f^{(5)}(1) = ?$

难度评级：

二、解析

本题考察的就是莱布尼兹公式。当然，不使用莱布尼兹公式，也可以直接“暴力求导”，例如，令 $A = e^{x} + 1$, 然后可知 $f(x)$ $=$ $A \cdot x^{2}$, 且 $A^{\prime}$ $=$ $A^{\prime \prime}$ $=$ $A^{(3)}$ $=$ $\cdots$ $=$ $A^{(5)}$ $=$ $e^{x}$, 之后，按照一般的求导法则进行计算即可——

但是，这样计算步骤过于繁杂。

因此，下面我们还是用莱布尼兹公式计算。

已知：

$$
f(x) = \left(e^{x}+1\right) \cdot x^{2}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
f^{(5)}(x) \\ \\
& = C_{5}^{0}\left(e^{x}+1\right)^{(5)}\left(x^{2}\right)^{(0)} + C_{5}^{1}\left(e^{x}+1\right)^{(4)} \cdot \left(x^{2}\right)^{\prime}+ \\
& C_{5}^{2}\left(e^{x}+1 \right)^{(3)} \cdot \left(x^{2}\right)^{\prime \prime} \\ \\
& = 1 \cdot \left(e^{x}+1\right)^{(5)} \cdot x^{2} + \frac{5}{1}\left(e^{x}+1\right)^{(4)} \cdot 2 x + \\
& \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \left(e^{x}+1\right)^{(3)} \cdot 2 \\ \\
& = x^{2} \left(e^{x}+1 \right)^{(5)}+10 x \left(e^{x}+1\right)^{(4)} + 20 \left(e^{x}+1\right)^{(3)} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ x^{2} \cdot e^{x}+10 x \cdot e^{x}+20 e^{x} }
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
f^{(5)}(1) & = 1 \cdot e^{1} + 10 \cdot 1 \cdot e^{1} + 20 \cdot e^{1} \\
& = e + 10 e + 20 e \\
& = \textcolor{springgreen}{ 31 e }
\end{aligned}
$$

注意：
本题常见的错误是将答案写成 “$\textcolor{blue}{31}$”, “$\textcolor{blue}{31e^{x}}$” 等，因为在代入 $x = 1$ 的时候，很容易忽视 $\textcolor{blue}{e^{x}}$.

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