2017 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析(两种方法)

题目

甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处. 图中,实线表示甲的速度曲线 [latex]v=v_{1}(t)[/latex] (单位 : m/s),虚线表示乙的速度曲线 [latex]v=v_{2}(t)[/latex] (单位 : m/s),三块阴影部分面积的数值依次为 10, 20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 [latex]t_{0}[/latex] (单位 : s),则()

( A ) [latex]t_{0}=10.[/latex]

( B ) [latex]15<t_{0}<20.[/latex]

( C ) [latex]t_{0}=25.[/latex]

( D ) [latex]t_{0}>25.[/latex]

解析

方法一

从物理学的角度,本题就是考查速度与路程的关系。

题目中给出的 X-Y 坐标图像是“时间-速度”图像。那么,根据物理学知识我们知道,该曲线与坐标轴围成的图像的面积就是走过的路程。我们又知道,实线表示甲,虚线表示乙,而且刚开始时甲在乙前面 10 米处。

由图像可知,当 [latex]t=10[/latex] 时,甲在乙前面 20 米处,当 [latex]t=25[/latex] 时,乙在第 10 秒到第 25 秒之间的 15 秒时间里比甲多跑了 20 米,正好抵消了之前乙落后于甲的 20 米路程。因此,当 [latex]t=25[/latex] 时,乙追上了甲,即 [latex]t_{0}=25[/latex]。

综上可知,本题的正确选项是:C

方法二

从数学的角度,本题主要考查的是定积分的基本运算和定积分的几何意义。

使用高等数学解答本题需要如下关于定积分的知识:

  1. 定积分的几何意义:
    曲边梯形的代数和.
  2. 定积分的基本性质:
    定积分的线性性:

[latex]\int_{a}^{b}[k_{1}f_{1}(x)+k_{2}f_{2}(x)]dx=k_{1}\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx+k_{2}\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx.[/latex]

定积分积分区间的可加性:

[latex]\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.[/latex]

根据上面的知识,我们可以做如下推理。

如果我们约定,使用 [latex]v(t)[/latex] 表示速度,使用 [latex]s(t)[/latex] 表示路程,那么在从 [latex]0[/latex] 到 [latex]t[/latex] 这个时间段内,可以写出如下定积分表达式:

[latex]s(t)=\int_{0}^{t}v(t)dx.[/latex]

因此,当乙在 [latex]t_{0}[/latex] 时刻追上甲时,甲走过的路程为:

[latex]s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t).[/latex]

乙走过的路程为:

[latex]s_{2}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t).[/latex]

[latex]s_{2}(t)[/latex]

和 [latex]s_{1}(t)[/latex] 的关系为:

[latex]s_{2}(t)-10=s_{1}(t).[/latex]

于是有:

[latex]s_{2}(t)-s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t)-\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.[/latex]

由于在从 [latex]0[/latex] 到 [latex]10[/latex] 秒的时间段内,[latex]v_{2}[/latex] 始终大于 [latex]v_{1}[/latex], 因此,乙超过甲的时间 [latex]t_{0}[/latex] 一定大于 [latex]10[/latex], 于是有:

[latex]\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]+\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.[/latex]

又由于,从题中给出的图像我们可以看出:

[latex]\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.[/latex]

因此有:

[latex]\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=20.    (1)[/latex]

根据题中图像可知,在第 [latex]10[/latex] 秒到第 [latex]25[/latex] 秒这段时间里,图像中对应的阴影部分的面积为 20, 所以当 [latex]t_{0}=25[/latex] 时, [latex](1) [/latex] 式成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

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