2017 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析(两种方法)

题目

甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 10(单位:m)处. 图中,实线表示甲的速度曲线 v=v_{1}(t) (单位 : m/s),虚线表示乙的速度曲线 v=v_{2}(t) (单位 : m/s),三块阴影部分面积的数值依次为 10, 20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为 t_{0} (单位 : s),则()

( A ) t_{0}=10.

( B ) 15<t_{0}<20.

( C ) t_{0}=25.

( D ) t_{0}>25.

解析

方法一

从物理学的角度,本题就是考查速度与路程的关系。

题目中给出的 X-Y 坐标图像是“时间-速度”图像。那么,根据物理学知识我们知道,该曲线与坐标轴围成的图像的面积就是走过的路程。我们又知道,实线表示甲,虚线表示乙,而且刚开始时甲在乙前面 10 米处。

由图像可知,当 t=10 时,甲在乙前面 20 米处,当 t=25 时,乙在第 10 秒到第 25 秒之间的 15 秒时间里比甲多跑了 20 米,正好抵消了之前乙落后于甲的 20 米路程。因此,当 t=25 时,乙追上了甲,即 t_{0}=25

综上可知,本题的正确选项是:C

方法二

从数学的角度,本题主要考查的是定积分的基本运算和定积分的几何意义。

使用高等数学解答本题需要如下关于定积分的知识:

  1. 定积分的几何意义:
    曲边梯形的代数和.
  2. 定积分的基本性质:
    定积分的线性性:
\int_{a}^{b}[k_{1}f_{1}(x)+k_{2}f_{2}(x)]dx=k_{1}\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx+k_{2}\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx.

定积分积分区间的可加性:

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.

根据上面的知识,我们可以做如下推理。

如果我们约定,使用 v(t) 表示速度,使用 s(t) 表示路程,那么在从 0t 这个时间段内,可以写出如下定积分表达式:

s(t)=\int_{0}^{t}v(t)dx.

因此,当乙在 t_{0} 时刻追上甲时,甲走过的路程为:

s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t).

乙走过的路程为:

s_{2}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t). s_{2}(t)

s_{1}(t) 的关系为:

s_{2}(t)-10=s_{1}(t).

于是有:

s_{2}(t)-s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t)-\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.

由于在从 010 秒的时间段内,v_{2} 始终大于 v_{1}, 因此,乙超过甲的时间 t_{0} 一定大于 10, 于是有:

\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]+\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.

又由于,从题中给出的图像我们可以看出:

\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.

因此有:

\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=20.    (1)

根据题中图像可知,在第 10 秒到第 25 秒这段时间里,图像中对应的阴影部分的面积为 20, 所以当 t_{0}=25 时, (1) 式成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

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