题目
已知函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{”}(x) + f^{‘}(x) – 2f(x) =0$ 及 $f^{”}(x) + f(x) = 2e^{x}$.
$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 的表达式；
$(Ⅱ)$ 求曲线 $y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2})dt$ 的拐点。
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由于函数 $f(x)$ 同时满足了两个方程，因此，我们首先要做的就是将这两个方程联立整合：
$$
\left\{\begin{matrix}
f^{”}(x) + f^{‘}(x) – 2f(x) =0;\\
f^{”}(x) + f(x) = 2e^{x}.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) – 3 f(x) = -2e^{x}.
$$
于是，根据一阶线性微分方程的求解公式可知：
$$
f^{‘}(x) – 3 f(x) = -2e^{x} \Rightarrow
$$
$$
f(x) = [\int (-2e^{x}) \cdot e^{\int -3 dx} dx + C] e^{- \int -3 dx} \Rightarrow
$$
$$
f(x) = [\int (-2e^{x}) \cdot e^{-3x} dx + C] e^{3x} \Rightarrow
$$
$$
f(x) = [(-2) \int e^{-2x} dx + C] e^{3x} \Rightarrow
$$
$$
f(x) = [(-2) \cdot (\frac{-1}{2}) e^{-2x} + C] e^{3x} \Rightarrow
$$
$$
f(x) = (e^{-2x} + C) e^{3x} \Rightarrow
$$
$$
f(x) = Ce^{3x} + e^{x}.
$$
将 $f(x) = Ce^{3x} + e^{x}$ 带入 $f^{”}(x) + f(x) = 2e^{x}$, 得：
$$
(Ce^{3x} + e^{x})^{”} + Ce^{3x} + e^{x} = 2e^{x} \Rightarrow
$$
$$
(3Ce^{3x} + e^{x})^{‘} + Ce^{3x} + e^{x} = 2e^{x} \Rightarrow
$$
$$
(9Ce^{3x} + e^{x}) + Ce^{3x} + e^{x} = 2e^{x} \Rightarrow
$$
$$
10Ce^{3x} + 2e^{x} = 2e^{x} \Rightarrow
$$
$$
10Ce^{3x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
C = 0.
$$
于是：
$$
f(x) = e^{x}.
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
由题知：
$$
y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2})dt \Rightarrow
$$
$$
y = e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt. ①
$$
由于形如 “$\int e^{-x^{2}} dx$” 的积分是积不出原函数的，因此，我们不能通过求解积分的形式对上面的 $①$ 式进行进一步的化简。
于是，接下来我们只能利用拐点的性质找拐点：一个函数的拐点就是这个函数的二阶导函数值的正负发生改变的点。
又：
$$
y^{‘} = 2xe^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + e^{x^{2}} e^{-x^{2}} \Rightarrow
$$
$$
y^{‘} = 2xe^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + 1.
$$
$$
y^{”} = (2xe^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + 1)^{‘} \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2(xe^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt)^{‘} \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2[e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + x(e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt)^{‘}] \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2[e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + x (y)^{‘}] \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2[e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + x \cdot y^{‘}] \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2[e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + x (2xe^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + 1)] \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2(e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + 2x^{2} e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + x) \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2(e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + 2x^{2} e^{x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt) + 2x \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2e^{x^{2}}(\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + 2x^{2} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt) + 2x \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2e^{x^{2}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt(1 + 2x^{2}) + 2x \Rightarrow
$$
$$
y^{”} = 2e^{x^{2}} (1 + 2x^{2}) \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt + 2x. ②
$$
于是，由 $②$ 式可知：
当 $x < 0$ 时，$y^{”} < 0$;
当 $x > 0$ 时，$y^{”} > 0$.
而且，当 $x = 0$ 时，$y = 0$.
于是，点 $(0,0)$ 为曲线 $y=f(x^{2}) \int_{0}^{x} f(-t^{2})dt$ 的拐点。
注：
[1]. 当我们考虑 $x<0$ 的情况时，可以令 $x=-1$ 并代入到上面的 $②$ 式中，考虑 $x>0$ 的情况时同理可令 $x=1$;
[2]. 由于 $y=e^{x}$ 的函数图像始终是位于 $x$ 轴上方的，因此，结合定积分的性质可知：$\int_{0}^{1} e^{-t^{2}} dt > 0$, $\int_{0}^{-1} e^{-t^{2}} dt < 0$.