通过曲率圆和二阶导确定极限式子的值

一、题目题目 - 荒原之梦

已知曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的曲率圆为 $(x – 1)^{2} + (y – 1)^{2} = 2$, 则:

$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{(1 + x)^{x} – 1} = ?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,由题可知,$y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处有定义,因此:

$$
f(0) = 0
$$

又由图象和几何关系可知,$y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的斜率为 $-1$, 即:

$$
f^{\prime}(0) = -1
$$

通过曲率圆和二阶导确定极限式子的值 | 荒原之梦
图 01. 题目中曲率圆的图象及其在点 $(0, 0)$ 处的几何关系.

接着,由曲率圆方程 $(x – 1)^{2} + (y – 1)^{2} = 2$ 可知,曲率半径为:

$$
R = \sqrt{2}
$$

因此:

$$
\begin{aligned}
K & = \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\
& = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{[1 + f^{\prime 2} (0)]^{3/2}} \\ \\
& = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{2 \sqrt{2}}
\end{aligned}
$$

于是:

$$
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{1} = \frac{|f^{\prime \prime}(0)|}{2} \Rightarrow
$$

$$
|f^{\prime \prime}(0)| = 2
$$

由于 $y = f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 附近是一个凹函数,因此,其二阶导一定不小于零,即:

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
f^{\prime \prime}(0) = 2
}
}
$$

又:

$$
\begin{aligned}
I & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{(1 + x)^{x} – 1} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{e^{x \ln (1+x)} – 1} \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{ x \ln (1+x) } \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + x}{ x^{2}} \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x) + 1}{2x} \Rightarrow \text{ 洛必达运算 } \Rightarrow \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} = \frac{2}{2} = 1
\end{aligned}
$$

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