2017 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析(两种方法)

题目

已知函数 f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, 则 f^{(3)}(0)=

解析

方法一

本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。

由于:

f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} f(-x)=\frac{1}{1+(-x)^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}}

因此:

f(x)=f(-x)

于是,我们知道,函数 f(x) 是一个偶函数。

接下来,根据“偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数”的规律,我们知道,函数 f^{(3)}(x) 是一个奇函数。

又由于,如果一个奇函数 g(x) 在原点处(x=0)有定义,则 g(x)=0, 因此有:

f^{(3)}(0)=0

综上可知,本题的答案就是:0

方法二

本题也可以借助泰勒级数计算。

本题要求解的是在 x=0 时,f(x) 的三次导函数的函数值。我们知道,麦克劳林级数就是函数在 x=0 处的泰勒级数,是泰勒级数的一个特例。于是,这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。

麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式,如下:

\frac{1}{1-x}=\sum_{0}^{\infty}x^{n}, |x|<1

当我们把上述公式中的 x 替换成 -x^{2} 后,f(x) 就可以使用上述几何级数的公式表达,如下:

f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}

之后,对 f(x) 求导:

f'(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot x^{2n-1}
f''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot x^{2n-2}
f'''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot 2n-2 \cdot x^{2n-3}

于是,f'''(0)=0

综上可知,本题的答案就是: 0

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