2017 年研究生入学考试数学一填空题第 1 题解析(两种方法)

题目

已知函数 [latex]f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}[/latex], 则 [latex]f^{(3)}(0)=[/latex]

解析

方法一

本题可以借助函数奇偶性的相关性质解出。

由于:

[latex]f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}[/latex]

[latex]f(-x)=\frac{1}{1+(-x)^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}}[/latex]

因此:

[latex]f(x)=f(-x)[/latex]

于是,我们知道,函数 [latex]f(x)[/latex] 是一个偶函数。

接下来,根据“偶函数的导数是奇函数,奇函数的导数是偶函数”的规律,我们知道,函数 [latex]f^{(3)}(x)[/latex] 是一个奇函数。

又由于,如果一个奇函数 [latex]g(x)[/latex] 在原点处([latex]x=0[/latex])有定义,则 [latex]g(x)=0[/latex], 因此有:

[latex]f^{(3)}(0)=0[/latex]

综上可知,本题的答案就是:[latex]0[/latex]

方法二

本题也可以借助泰勒级数计算。

本题要求解的是在 [latex]x=0[/latex] 时,[latex]f(x)[/latex] 的三次导函数的函数值。我们知道,麦克劳林级数就是函数在 [latex]x=0[/latex] 处的泰勒级数,是泰勒级数的一个特例。于是,这里我们可以使用麦克劳林级数对原式进行级数展开。

麦克劳林级数中有一个关于几何级数的公式,如下:

[latex]\frac{1}{1-x}=\sum_{0}^{\infty}x^{n}, |x|<1[/latex]

当我们把上述公式中的 [latex]x[/latex] 替换成 [latex]-x^{2}[/latex] 后,[latex]f(x)[/latex] 就可以使用上述几何级数的公式表达,如下:

[latex]f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}[/latex]

之后,对 [latex]f(x)[/latex] 求导:

[latex]f'(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot x^{2n-1}[/latex]


[latex]f”(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot x^{2n-2}[/latex]


[latex]f”'(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot 2n-2 \cdot x^{2n-3}[/latex]

于是,[latex]f”'(0)=0[/latex]

综上可知,本题的答案就是: [latex]0[/latex]

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