只有齐次线性方程组的解相减得到的解才一定是新的解

一、题目

已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为：

(A) $y=C y_{1}(x)$
(B) $y=C y_{2}(x)$
(C) $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$
(D) $y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$

难度评级：

二、解析

由于 $y_{1} – y_{2}$ 一定是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的解，因此 $C(y_{1} – y_{2})$ 一定是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的通解。

本题的突破点在于“零解”：

1. 由于 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 其中之一可能是方程的零解，因此，$y=C y_{1}(x)$ 和 $y=C y_{2}(x)$ 不一定是方程的通解；

2. 类似的，假如 $y_{1}$ 是零解，而 $C_{2} = 0$, 那么 $y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ 事实上就会恒等于零，因此，C 选项也可能不是方程的通解；

3. 但无论 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 谁是零解，$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ 都始终不可能恒等于零，因此，D 选项正确。

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