有零阶导、一阶导还有二阶导？那么，这道题很可能可以用泰勒公式哦！

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $f(a)=0$. 若令 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}f^{\prime}(a), & x=a \\ \frac{f(x)}{x-a}, & x \neq a\end{array}\right.$, 则函数 $g(x)$ 在 $x = a$ 存在一阶导数吗？如果存在，那么 $g^{\prime}(a) = ?$

难度评级：

二、解析

根据泰勒公式，某函数 $f(x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的泰勒展开式如下：

$$
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots
$$

又：

$$
g^{\prime}(a)=\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\frac{\frac{f(x)}{x-a}-f^{\prime}(a)}{x-a}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f^{\prime}(a) \cdot(x-a)}{(x-a)^{2}}
$$

且根据泰勒公式，有：

$$
f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2}(x-a)^{2}
$$

于是：

$$
f(x)=\frac{f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a) \cdot(x-a)^{2}}{(x-a)^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f^{\prime}(a) \cdot(x-a)}{(x-a)^{2}} =
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a) \cdot(x-a)^{2}-f^{\prime}(a) \cdot(x-a)}{\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a)} \Rightarrow
$$

$$
g^{\prime}(a) = \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(a).
$$

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