这道题千万不要用一点处的求导公式

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}, & x<0 \\ a+b x, & x \geqslant 0\end{array}\right.$ 处处可导，则 $(a, b)$ 等于多少？

难度评级：

二、解析

可导必连续，因此：

$$
x=0 \Rightarrow a+b x=a \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x}}{x}=a \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-(1-x)^{\frac{1}{2}}}{x}=a \Rightarrow
$$

$$
\frac{-\left[(1-x)^{\frac{1}{2}}-1\right]}{x}=a \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x}{x}=\frac{1}{2}=a
$$

即 $a = \frac{1}{2}$

接着，处处可导，则分段点处的导数必须存在且相等：

Tips:

这里不能使用一点处导数的定义求解，因为这样做无法求解出未知量 $b$. 同时，由于题目已知“处处可导”，因此，在一个分段区间内，我们可以直接使用求导公式计算该区间内函数的导函数。

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}, & x<0 \\ b x+\frac{1}{2}, & x \geqslant 0\end{array} \quad \Rightarrow\right.
$$

分子有理化（方便后面的计算）：

$$
\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{(1-\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}{x(1+\sqrt{1-x})}=
$$

$$
\frac{1-1+x}{x(1+\sqrt{1-x})}=\frac{1}{1+\sqrt{1-x}} \Rightarrow
$$

于是：

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}, & x<0 \\ b x+\frac{1}{2}, & x \geqslant 0\end{array} \quad \Rightarrow\right.
$$

又：

$$
\left(\frac{1}{1+\sqrt{1-x}}\right)_{x}^{\prime}=\frac{\frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}}}{(1+\sqrt{1-x})^{2}}=
$$

$$
\frac{1}{(1+\sqrt{1-x})^{2}} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{1-x}} \Rightarrow x=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 1=\frac{1}{8}
$$

且：

$$
\left(b x+\frac{1}{2}\right)_{x}^{\prime}= b =\frac{1}{8}
$$

因此：

$$
(a, b) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{8})
$$

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