荒原之梦原创解题方法:田字格分段函数融合法

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<1 \\ a, & x \geqslant 1\end{array}\right.$, $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}b, & x<0 \\ x+2, & x \geqslant 0\end{array}\right.$, 且 $f(x)+g(x)$ 为连续函数, 则 $a$ 和 $b$ 的值分别是多少?

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二、解析 解析 - 荒原之梦

本题的意图很简单,就是要我们吧 $f(x)$ 和 $g(x)$ 这两个函数加到一起。

但是,由于这两个函数的分段点和分段区间不一样,因此,要加到一起就需要分清楚这两个函数之间哪些区间是重合的,哪些区间是单独的这一问题——是不是很让人头大?

其实,我们只需要画一个“田字格”(准确的说可能需要多个“田字格”)就可以非常程序化的解决这一类问题。

首先,绘制一个数轴,标记清楚两个函数分段点的相对位置(如图 01):

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图 01.

接着,以分界点为依据绘制“田字格”,每个“格子”放置分段函数的一个“段”(如图 02):

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图 02.

接着,我们就可以根据上图(图 02)所示,写出 $f(x) + g(x)$ 了:

$$
f(x)+g(x)=\left\{\begin{array}{cc}b+x, & x \leq 0 \\ 2 x+2, & 0<x<1 \\ x+2+a, & x \geqslant 1\end{array}\right.
$$

于是:

$$
b+0=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}(2 x+2)=2 \Rightarrow b=2
$$

$$
a+2+1=\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}(2 x+2)=4 \Rightarrow a=1
$$


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