只要没说处处可导就只能用一点处导数的定义

一、题目

已知 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足 $f(1+x)=a f(x)$, 且 $f^{\prime}(0)=b$, 其中 $a$ 与 $b$ 都是常数，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处是否可导？

难度评级：

二、解析

根据一点处导数的定义：

$$
f^{\prime}(1)=\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& f(1 + \Delta x) = a f(\Delta x) \\
& f(1) = f(1+0) = af(0)
\end{cases}
\quad \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{a f(\Delta x)-a f(0)}{\Delta x}=
$$

$$
a \lim \limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x)-a f(0)}{\Delta x}=a f^{\prime}(0)=a b.
$$

因此，$f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且导数等于 $ab$.

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