你能走出这个关于 $e^{x}$ 的迷宫吗？

一、题目

$$
I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

Tips:

在正式开始阅读本文之前，建议首先通读下面两篇文章，以完成必要的知识储备：

1. 《考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子》
2. 《一个常用的无穷大量的比较公式》

正确的解法 1

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{\frac{x}{e^{x}}}{\left(1+\frac{1}{e^{x}}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{e^{x}} \cdot \frac{\left(e^{x}\right)^{2}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~ d} x.
$$

又：

$$
\left(\frac{1}{e^{x}+1}\right)^{\prime}=\frac{-e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}}.
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=-\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{e^{x}+1}\right) =
$$

$$
-\left.\frac{x}{e^{x}+1}\right|_{0} ^{+\infty}+\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}+1} \mathrm{~ d} x.
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{e^{x}+1}=\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{\infty}=0.
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{e^{x}+1}=\frac{0}{1+1}=\frac{0}{2}=0 .
$$

因此：

$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}+1} \mathrm{~ d} x.
$$

又：

$$
[\ln (1 + e^{-x})]^{\prime} = \frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}} = \frac{-\frac{1}{e^{x}}}{1+\frac{1}{e^{x}}} =
$$

$$
\frac{-1}{e^{x}} \times \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} = \frac{-1}{e^{x}+1}.
$$

于是：

$$
I=-\left.\ln \left(1+e^{-x}\right)\right|_{0} ^{+\infty}=
$$

$$
-[\ln (1+0)-\ln (1+1)]=-[\ln 1-\ln 2]=\ln 2.
$$

插播一个错误的解法

下面这个分部积分的使用本身没有问题：

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)^{\prime}=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)=
$$

$$
\left.\frac{x}{1+e^{-x}}\right|_{0} ^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+e^{-x}} \mathrm{~ d} x.
$$

但是，由于 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{1+e^{-x}}=\frac{+\infty}{1}=+\infty$ 极限不存在，且由于 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+e^{-x}} \mathrm{~ d} x=\left.\ln \left(1+e^{x}\right)\right|_{0} ^{+\infty}=+\infty$ 表名对应的积分发散，因此，上面用分部积分所得的式子并不能计算出应有的结果。

正确的解法 2

根据前面插播的错误解法可知，我们在使用分部积分时，应该先将极限值看作常数处理，之后再想办法计算出整体的极限值，而不是直接代入极限，于是：

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}=\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \int_{0}^{b} x \mathrm{~ d} \left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right) =
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\left.\frac{x}{1+e^{-x}}\right|_{0} ^{b}-\int_{0}^{b} \frac{1}{1+e^{-x}} \mathrm{~ d} x\right)=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\frac{b}{1+e^{-b}}-\frac{0}{1}-\left.\ln \left(1+e^{x}\right)\right|_{0} ^{b}\right)=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\frac{b}{1+e^{-b}}-\ln \left(1+e^{b}\right)+\ln 2\right)=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \frac{1}{1+e^{-b}} \Big( b-\left(1+e^{-b}\right) \ln \left(1+e^{b}\right) \Big)+\ln 2.
$$

又：

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \frac{1}{1+e^{-b}}=\frac{1}{1}=1.
$$

于是：

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(b-\left(1+e^{-b}\right) \ln \left(1+e^{b}\right)\right)+\ln 2.
$$

又：

$$
b=\log _{e} e^{b} \Rightarrow \ln e^{b}=b.
$$

于是：

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\ln e^{b}-\left(1+e^{-b}\right) \ln \left(1+e^{b}\right)\right) + \ln 2 =
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\ln e^{b}-\frac{1+e^{b}}{e^{b}} \ln \left(1+e^{b}\right)\right)+\ln 2=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\ln e^{b}-\left(1+e^{b}\right) \cdot \frac{\ln \left(1+e^{b}\right)}{e^{b}}\right)+\ln 2=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\ln e^{b}-\frac{\ln \left(1+e^{b}\right)}{e^{b}}-\ln \left(1+e^{b}\right)\right)+\ln 2=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left(\ln \frac{e^{b}}{1+e^{b}}-\frac{\ln \left(1+e^{b}\right)}{e^{b}}\right)+\ln 2.
$$

又：

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \ln \frac{e^{b}}{1+e^{b}}=\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \ln \frac{e^{b}}{e^{b}}=\ln 1=0.
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1+e^{b}\right)}{e^{b}}=\frac{0}{\infty}=0.
$$

Tips:

根据《一个常用的无穷大量的比较公式》可知，$\ln$ 会限制 $e^{b}$ 的增长速度，因此，当 $b \rightarrow \infty$ 时，$\ln(1+e^{b})$ 远小于 $e^{b}$.

综上可知：

$$
I=0-0+\ln 2=\ln 2.
$$

正确的解法 3

在正确的解法二中对 $\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left[\frac{b}{1+e^{-b}}-\ln \left(e^{b}+1\right)\right]$ 的处理过程，也可以按照下面的方法进行：

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left[\frac{b}{1+e^{-b}}-\ln \left(e^{b}+1\right)\right]=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left[\frac{b\left(1+e^{-b}-e^{-b}\right)}{1+e^{-b}}-\ln \left[e^{b}\left(1+e^{-b}\right)\right]=\right.
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left[\frac{b\left(1+e^{-b}\right)}{1+e^{-b}}-\frac{b e^{-b}}{1+e^{-b}}-\ln e^{b}-\ln \left(1+e^{-b}\right)\right]
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left[b-\frac{b}{e^{b}} \cdot \frac{e^{b}}{e^{b}+1}-b-\ln 1\right]=
$$

$$
\lim \limits_{b \rightarrow+\infty}\left[\frac{-b}{e^{b}+1}-\ln 1\right]=0-0=0.
$$

Tips:

根据《一个常用的无穷大量的比较公式》可知，当 $b \rightarrow \infty$ 时，$b$ 是远远小于 $e^{b}$ 的。

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