你会用一点处导数的定义解这道题吗？（补充：求导不会改变函数的周期）

一、题目

已知函数 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$, 则：

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h} = ?
$$

难度评级：

二、解析

Tips:

1. 求导运算不会改变函数的周期：导函数与其原函数具有相同的函数周期；
2. 一点处导数的定义：《形式 1》、《形式 2》

由题可知：

$$
f^{\prime}(4)=f^{\prime}(4-3)=f^{\prime}(1)=1
$$

$$
f^{\prime}(1)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}
$$

$$
f^{\prime}(1)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-3 \tan h)-f(1)}{-3 \tanh }
$$

于是：

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}=
$$

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)-[f(1-3 \tan h)-f(1)]}{h}=
$$

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} – \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-3 \tan h)-f(1)}{h}=
$$

$$
\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} – \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(1-3 \tan h)-f(1)}{-3 \tan h} \cdot (-3 \tan h) =
$$

$$
\frac{1-1 \cdot(-3)}{h}=1+3=4.
$$

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