利用奇延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶系数:$b_{n}$(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数,并且,其基于奇延拓的傅里叶展开式为:

$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$.

那么,上述式子中的傅里叶系数 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sec \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$



显示答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{2}{l}$ $\int_{0}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$, 其中 $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$