分类： 高等数学

函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微

$(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)}b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n – 1)}b’$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n – 2)} {b}^{”}$ $+$ $\cdots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n – k)}b^{(k)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)}b^{(n)}$

组合的计算示例：
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$

此外：$C_{n}^{0}$ $=$ $C_{n}^{n}$ $=$ $1$
$a^{(0)}$ $=$ $a$
$b^{(0)}$ $=$ $b$

$(\rm{arccot} \ x)’$ $=$ $\frac{-1}{1+x^{2}}$

$(\arctan x)’$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$

$(\arccos x)’$ $=$ $\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\arcsin x)’$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$

$(\log_{a}^{x})’$ $=$ $\frac{1}{x \ln a}$

$(e^{x})’$ $=$ $e^{x}$

$(a^{x})’$ $=$ $a^{x} \ln a$

$(\csc x)’$ $=$ $(\frac{1}{\sin x})’$ $=$ $- \csc x \cdot \cot x$

$(\sec x)’$ $=$ $(\frac{1}{\cos})’$ $=$ $\secx \cdot \tan x$

$(\cot x)’$ $=$ $- \csc^{2} x$ $=$ $(\frac{-1}{\sin x})^{2}$

$(\tan x)’$ $=$ $\sec^{2} x$ $=$ $(\frac{1}{\cos x})^{2}$

$(\cos x)’$ $=$ $- \sin x$