2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点

题目

已知函数 $f(x)$ 在 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上连续,在 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x – 3 \pi}$ 的一个原函数,且 $f(0) = 0$.

$(Ⅰ)$ 求 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{3 \pi}{2}]$ 上的平均值;

$(Ⅱ)$ 证明 $f(x)$ 在区间 $(0, \frac{3 \pi}{2})$ 内存在唯一零点.

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2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ $(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $\left\{\begin{matrix}
x= \cos ^{3} t;\\
y = \sin ^{3} t.
\end{matrix}\right.$ $(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2})$ 围成的平面区域,求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

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2016年考研数二第19题解析:微分方程的降阶、一阶线性微分方程求解

题目

已知 $y_{1}(x) = e^{x}$, $y_{2}(x) = u(x) e^{x}$ 是二阶微分方程:

$$
(2x – 1) y^{”} – (2x + 1) y^{‘} + 2y = 0
$$

的两个解. 若 $u(-1) = e$, $u(0) = -1$, 求 $u(x)$, 并写出该微分方程的通解.

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2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算

题目

设 $D$ 是由直线 $y = 1$, $y = x$, $y = – x$ 围成的有界区域,计算二重积分:

$$
\iint_{D} \frac{x^{2} – xy – y^{2}}{x^{2} + y^{2}}.
$$

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2015年考研数二第21题解析:导数、函数的单调性与凹凸性

题目

已知函数 $f(x)$ 在区间 $[a, + \infty)$ 上具有二阶导数,$f(a)=0$, $f^{‘}(x) > 0$, $f^{”}(x) > 0$, 设 $b > a$, 曲线 $y = f(x)$ 在点 $(b, f(b))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点是 $(x_{0}, 0)$. 证明:$a < x_{0} < b$.

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2015年考研数二第20题解析:物理应用、微分、一阶线性微分方程

题目

已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比,现将一初始温度为 $120$ ℃ 的物体在 $20$ ℃ 的恒温介质中冷却,$30$ min 后该物体温度降至 $30$ ℃, 若要将该物体的温度降至 $21$ ℃, 还需要冷却多长时间?

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2015年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式

题目

计算二重积分 $\iint_{D} x(x+y) {\rm d} x {\rm d} y$, 其中 $D=$ $\left\{(x,y) | x^{2} + y^{2} \leqslant 2, y \geqslant x^{2} \right\}$.

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2015年考研数二第17题解析:利用二元函数的偏导数求极值、不定积分

题目

已知函数 $f(x,y)$ 满足:

$$
f_{xy}^{”}(x,y) = 2(y+1)e^{x},
$$

$$
f_{x}^{‘}(x,0) = (x+1)e^{x},
$$

$$
f(0,y) = y^{2} + 2y.
$$

求 $f(x,y)$ 的极值.

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$y+1$ 或 $x+1$ 的积分怎么算?

根据不同的计算思路,$\int (y+1) dy$ 或 $\int (x+1) dx$ 会呈现出两种看上去“不同”的计算结果,本文将以 $\int (y+1) dy$ 为例,对这一现象进行分析。

对 $y+1$ 进行积分的具体应用案例,可以参考:《2015年考研数二第17题解析

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2015年考研数二第16题解析:定积分、旋转体的体积

题目

设 $A>0$, $D$ 是由曲线段 $y=$ $A \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2})$ 及直线 $y=0$, $x = \frac{\pi}{2}$ 所围成的平面区域,$V_{1}$, $V_{2}$ 分别表示 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y$ 轴旋转所成旋转体的体积,若 $V_{1}=V_{2}$, 求 $A$ 的值.

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2015年考研数二第15题解析:等价无穷小、麦克劳林公式

题目

设函数 $f(x)=$ $x +$ $a \ln(1+x) +$ $bx \sin x$, $g(x)=$ $kx^{3}$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小,求 $a$, $b$, $k$ 的值.

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