高数极限小技巧:$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 默认就是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

在做有些涉及极限的题目时,我们常常会遇到下面这样的表述:

$$
\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}
$$

但是,我们可能会产生这样的疑问:

$\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 既不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{red}{+} \textcolor{orange}{\infty}}$, 也不是 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{cyan}{-} \textcolor{orange}{\infty}}$, 那么,在计算含有 $\lim_{n \rightarrow \textcolor{orange}{\infty}}$ 的式子时该怎么计算,需要 嘛?

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计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $2 m y^{\prime}$ $+$ $n^{2} y$ $=$ $0$ 满足一定条件特解的无穷限反常积分

一、题目题目 - 荒原之梦

设 $y$ $=$ $y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $\textcolor{orange}{y^{\prime \prime}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{2 m y^{\prime}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{n^{2} y}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{0}$ 满足 $\textcolor{orange}{y(0)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{a}$ 与 $\textcolor{orange}{y^{\prime}(0)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{b}$ 的特解,其中 $m$ 和 $n$ 为常数,且 $\textcolor{orange}{m}$ $\textcolor{orange}{>}$ $\textcolor{orange}{n}$ $\textcolor{orange}{>}$ $\textcolor{orange}{0}$, 则 $\textcolor{orange}{\int_{0}^{+ \infty}}$ $\textcolor{orange}{y(x)}$ $\textcolor{orange}{\mathrm{d} x}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{?}$

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计算微分方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $-$ $2 y$ $=$ $(6x + 2) e^{x}$ 满足指定条件的特解

一、题目题目 - 荒原之梦

方程 $y^{\prime \prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $-$ $2 y$ $=$ $(6x + 2) e^{x}$ 满足条件 $y(0)$ $=$ $3$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $0$ 的特解 $y^{*}$ $=$ $?$

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计算微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足给定初始条件的特解

一、题目题目 - 荒原之梦

微分方程 $y$ $y^{\prime \prime}$ $+$ $2$ $(y^{\prime})^{2}$ $=$ $0$ 满足初始条件 $y(0)$ $=$ $1$, $y^{\prime}(0)$ $=$ $-1$ 的特解是?

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$n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充要条件:$r(\boldsymbol{A})$(C010)

问题

已知,$\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵,则当 $\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ 满足如下哪个条件时,可以判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆

选项

[A].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$

[B].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $1$

[C].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n$

[D].   $r(\boldsymbol{A})$ $=$ $0$


答案

$\textcolor{orange}{r(\boldsymbol{A})}$ $=$ $\textcolor{white}{n}$

借助泰勒定理记忆等价无穷小:$e^{x}$ $-$ $1$ $\sim$ $x$

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,有一个重要的等价无穷小:

$$
\textcolor{orange}{e^{x} – 1 \sim x}
$$

但是,有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式:

$$
\textcolor{gray}{1 – e^{x} \sim x}
$$

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异曲同工:$1$ $+$ $\tan^{2} \alpha$ 与 $(\tan \alpha)^{\prime}$

一、前言 前言 - 荒原之梦

在数学中,通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点,可以让我们对公式的记忆与理解更加深入,例如:

$$
1 + \tan^{2} \alpha = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

$$
(\tan \alpha)^{\prime} = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

即:

$$
1 + \tan^{2} \alpha \textcolor{red}{=} (\tan \alpha)^{\prime}
$$

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用一个小技巧牢记求导公式 $(u v)^{\prime}$ $=$ $u^{\prime} v$ $+$ $u v^{\prime}$

一、问题描述 问题描述 - 荒原之梦

已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下:

$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$

但是,由于一些原因,有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$

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变限积分求导例题:$\int_{x}^{y}$ $f(x+y – t)$ $\mathrm{d} t$

一、题目题目 - 荒原之梦

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$

补充资料:
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结. 打开链接 - 荒原之梦

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