一、题目
$$
\int \frac{g^{\prime}\left(x\right)}{g\left(x\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
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继续阅读“被积函数中分子是分母的导数该怎么计算？”被积函数中分子是分母的导数该怎么计算？
分类： 高等数学
积分运算中，分母上的 x 和分子上的 ln x 等价
积分换元的时候不能只考虑被积函数
一、题目
$$
\int \frac{1}{\sqrt{x}\left(1 – \sqrt{x}\right)} \mathrm{~d}x = ?
$$
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继续阅读“积分换元的时候不能只考虑被积函数”2021年考研数二第13题解析：二元方程求偏导数
一、题目
设函数 $z=z\left(x,y\right)$ 由方程 $\left( x+1 \right)z + y \ln z – \arctan \left( 2xy \right) = 1$ 确定，则 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(0,2\right)} = \underline{\hspace{26px}}$
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一、题目
设函数 $y = y \left(x\right)$ 由参数方程 $\begin{cases} x=2\mathrm{e}^{t}+t+1 \\ y=4\left(t-1\right)\mathrm{e}^{t}+t^{2} \end{cases}$ 确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\right|_{t=0}=\underline{\hspace{26px}}$
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继续阅读“2021年考研数二第12题解析：参数方程求导”2021年考研数二第11题解析：无穷限定积分的计算、极限的计算
一、题目
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\left| x \right|3^{-x^{2}}\mathrm{~d}x=\underline{\hspace{26px}}
$$
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继续阅读“2021年考研数二第11题解析：无穷限定积分的计算、极限的计算”2021年考研数二第07题解析：定积分的定义、定积分转求和
一、题目
设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x = ?$
»A« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n}$
»B« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
»C« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
»D« $\lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k}{2n}\right) \cdot \frac{2}{n}$
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继续阅读“2021年考研数二第07题解析：定积分的定义、定积分转求和”2021年考研数二第06题解析：全微分、二元复合函数求导
一、题目
设函数 $f\left(x, y\right)$ 可微，且 $f\left(x + 1, \mathrm{e}^{x}\right) = x \left(x + 1\right)^{2}$, $f\left(x, x^{2}\right) = 2 x^{2} \ln x$, 则 $\mathrm{d} f\left(1, 1\right) =$
»A« $\mathrm{d} x + \mathrm{d} y$
»B« $\mathrm{d} x – \mathrm{d} y$
»C« $\mathrm{d} y$
»D« $-\mathrm{d} y$
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一、题目
设函数 $f \left( x \right) = \sec x$ 在 $x = 0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1 + a x + b x^{2}$, 则（ ）
»A« $a = 1, b = – \frac{1}{2}$
»B« $a = 1, b = \frac{1}{2}$
»C« $a = 0, b = – \frac{1}{2}$
»D« $a = 0, b = \frac{1}{2}$
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一、题目
设函数 $f\left(x\right) = a x-b \ln x \left(a>0\right)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）
»A« $\left(\mathrm{e}, +\infty \right)$
»B« $\left(0, \mathrm{e} \right)$
»C« $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}} \right)$
»D« $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, + \infty \right)$
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一、题目
有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $-3 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$. 当底面半径为 $10 \mathrm{cm}$, 高为 $5 \mathrm{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）
»A« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»B« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»C« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
»D« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.
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继续阅读“2021年考研数二第03题解析：导数的物理应用”2021年考研数二第02题解析：等价无穷小、函数在一点处的连续性、一点处的导数
一、题目
$f \left( x \right) = \begin{cases}
\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x}, \ x \neq 0 \\
1, \ x = 0
\end{cases}$ 在 $x = 0$ 处（ ）
»A« 连续且取得极大值
»B« 连续且取得极小值
»C« 可导且导数为 $0$
»D« 可导且导数不为 $0$
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二、解析
判断一点处的连续性
由于：
$$
\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 = f \left( 0 \right)
$$
所以，函数 $f \left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处连续.
求解一点处的导数
由题可知：
$$
\begin{aligned}
f^{\prime} \left( 0 \right) & = \lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) – f \left( 0 \right)}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} – 1}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1 – x}{x^{2}} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{2 x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2 x} \\ \\
& = \dfrac{1}{2} \neq 0
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 D 
三、相关知识点
[1]. 常用的等价无穷小公式
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
2021年考研数二第01题解析：求导运算、无穷小的比阶
一、题目
$\left( 1 \right)$ 当 $x \to 0$ 时，$\int_{0}^{x^{2}} \left( \mathrm{e}^{t^{3}} – 1 \right) \mathrm{~d}t$ 是 $x^{7}$ 的（ ）
»A« 低阶无穷小.
»B« 等价无穷小.
»C« 高阶无穷小.
»D« 同阶但非等价无穷小.
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继续阅读“2021年考研数二第01题解析：求导运算、无穷小的比阶”2025年考研数二第21题解析：拉格朗日中值定理、一点处导数的定义、不等式的证明
一、题目
设函数 $f\left( x \right)$ 在区间 $\left( a, b \right)$ 可导，证明：导函数 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a, b \right)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：
对 $\left( a,b \right)$ 内任一点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$，当 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ 时，有：
$$
\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}}
$$
难度评级：
继续阅读“2025年考研数二第21题解析：拉格朗日中值定理、一点处导数的定义、不等式的证明”2025年考研数二第20题解析：二重积分的化简与计算
一、题目
已知平面有界区域 $D=\left\{ \left( x,y \right) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4x, x^{2}+y^{2} \leqslant 4y \right\}$, 计算 $\iint_{D} \left( x-y \right)^{2}\mathrm{~d}x \mathrm{d}y$.