设函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty, +\infty\right)$ 内具有二阶连续导数，证明：$f^{\prime \prime}\left(x\right) \geqslant 0$ 的充分必要条件是对任意的不同实数 $a, b$, 有 $f\left(\frac{a + b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b – a} \int_{a}^{b} f\left(x\right) \mathrm{~d} x$ 成立.
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继续阅读“2022考研数二第21题解析：泰勒公式、函数的单调性、拉格朗日中值定理、定积分、不等式的证明、洛必达、极限的保号性”在一些证明过程中，我们会看到诸如“不失一般性地假设”这样的表达，“不妨设”的另一个名字是“不妨设”.
那么，什么是“不妨设”？为什么这样“设”是“不妨”的呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们针对上述问题做一个详细的讲解.
继续阅读“什么是“不失一般性地假设”？什么是“不妨设”？”由《峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件》这篇讲义可知，我们可以用几何图形的相互包含关系表示充分条件和必要条件. 而反证法则可以将对充分条件的证明转为对必要条件的证明，或者将对必要条件的证明转为对充分条件的证明.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示和比喻的方式，帮助同学们快速建立对上述的反证法证明逻辑的形象理解.
继续阅读“峰图 | 从包含关系的视角理解用反证法逆转充分条件和必要条件的证明逻辑”在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过绘图的方式，从几何包含关系的视角，帮助同学们建立对数学中“充分条件”、“必要条件”和“充要条件”之间关系的形象理解.
继续阅读“峰图 | 从包含关系的视角理解充分条件与必要条件”已知可微函数 $f\left(u, v\right)$ 满足 $\frac{\partial f\left(u, v\right)}{\partial u} – \frac{\partial f\left(u, v\right)}{\partial v} = 2 \left(u – v\right) \mathrm{e}^{-\left(u + v\right)}$, 且 $f\left(u, 0\right) = u^{2} \mathrm{e}^{-u}$.
（1）记 $g\left(x, y\right) = f\left(x, y – x\right)$, 求 $\frac{\partial g\left(x, y\right)}{\partial x}$;
（2）求 $f\left(u, v\right)$ 的表达式和极值.
已知平面区域 $D = \left\{\left(x, y\right) \mid y – 2 \leqslant x \leqslant \sqrt{4 – y^{2}}, \ 0 \leqslant y \leqslant 2\right\}$, 计算 $I = \iint_{D} \frac{\left(x – y\right)^{2}}{x^{2} + y^{2}} \mathrm{~d}x \mathrm{d}y$.
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设函数 $y \left( x \right)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime} – 4 y = 2 \ln x – 1$, 满足条件 $y\left( 1 \right) = \frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y = y\left(x\right) \left( 1 \leqslant x \leqslant e \right)$ 的弧长.
继续阅读“2022考研数二第18题解析：一阶线性微分方程、曲线的弧长”已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $x = 1$ 处可导，且 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right) – 3 f\left(1 + \sin^{2} x\right)}{x^{2}} = 2$，求 $f^{\prime}\left(1\right)$.
已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r = \sin 3 \theta \left( 0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3} \right)$, 则 $L$ 围成有界区域的面积为 $\underline{\qquad\qquad}$.
$y^{\prime\prime\prime} – 2 y^{\prime\prime} + 5 y^{\prime} = 0$, 通解 $y\left(x\right) = \underline{\qquad\qquad}$.
| $\arcsin$ | |||||||||
| $\arccos$ |
| $\arctan$ | |||||||
| $\operatorname{arccot}$ |
上面四个反三角函数的取值范围为：
$$
\begin{aligned}
\arcsin x & \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \\
\arccos x & \in \left[ 0, \pi \right] \\
\arctan x & \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \\
\operatorname{arccot} x & \in \left( 0, \pi \right)
\end{aligned}
$$
$\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x^{2} – x + 1} \mathrm{~d} x = \underline{\qquad \qquad}$.
已知函数 $y = y \left(x\right)$ 由方程 $x^{2} + x y + y^{3} = 3$ 确定，则 $y^{\prime\prime}\left(1\right) = \underline{\qquad\qquad}$.
$\lim\limits_{x \to 0} \left(\frac{1 + \mathrm{e}^{x}}{2}\right)^{\cot x} = \underline{\qquad\qquad}$.
在本文中，「荒原之梦」将结合实际的概率事件，通过形象化的作用力分析的方法，尝试解释正态分布概率形态的形成机制，并基于此，对正态分布型概率事件内部对象的活动性质以及不同正态分布型概率事件之间可能的演变机制给出一个猜想。
继续阅读“峰图 | 基于作用力分析的正态分布概率形态形成机制猜想”