一、前言 
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过一张关系图，为同学们讲解清楚与原函数和其一阶导函数相关的尖点、驻点、极值点、闭区间端点和最值点这 5 个“点”之间的包含和层次关系。
继续阅读“与原函数和一阶导函数相关的五个“点”之间的关系图：尖点、驻点、极值点、端点、最值点”分类： 高等数学
2019年考研数二第20题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列
一、题目
已知函数 $u(x, y)$ 满足 $2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ $-$ $2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ $+$ $3 \frac{\partial u}{\partial x}$ $+$ $3 \frac{\partial u}{\partial y}$ $=$ $0$, 求 $a$, $b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)$ $=$ $v(x, y) \mathrm{e}^{ax + by}$ 下，上述等式可化为 $v(x, y)$ 不含一阶偏导数的等式.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第20题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列”2019年考研数二第19题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列
一、题目
设 $n$ 为正整数，记 $S_{n}$ 为曲线 $y = \mathrm{e}^{-x} \sin x$ $\left( 0 \leqslant x \leqslant n \pi \right)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积，求 $S_{n}$, 并求 $\lim_{n \rightarrow \infty } S_{n}$.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第19题解析：波纹函数、定积分累加求和、等比数列”快速求导的策略：幂指数相同时先合并幂指数
一、前言
下面的函数怎么做求导操作，计算速度更快一些：
$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{3} \\ \\
y_{2} & = \textcolor{tan}{ \left( x-1 \right) }^{3} \cdot \textcolor{lightgreen}{ \left( x-2 \right) }^{6}
\end{aligned}
$$
周期函数的兄弟：波纹函数
一、前言
我们知道，所谓周期函数就是满足下式的函数：
$$
f(x + T) = f(x)
$$
其中，常数 $T \neq 0$ 就是周期函数 $f(x)$ 的最小正周期。
在本文中，「荒原之梦考研数学」将定义一种具有和周期函数类似性质的“波纹函数”——
由于水波函数和周期函数具有一定程度上相似的性质，所以，我们在做题的时候，可以借助对周期函数的研究思路和研究波纹函数。
继续阅读“周期函数的兄弟：波纹函数”乘积的极限存在，因子的极限不一定也都存在
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x = 0$ 的某个邻域内连续，且 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1 – \cos x}$ $=$ $-16$, 则在点 $x = 0$ 处 $f(x)$ ( )
»A« 取得极大值.
»C« 不可导.
»B« 取得极小值.
»D« 可导，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
关于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性
一、前言
在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 是两种核心未定式。
既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。
在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\infty}{\infty}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。
继续阅读“关于 $0/0$ 和 $\infty / \infty$ 型极限的正负性”2019年考研数二第18题解析：利用对称性和极坐标求解二重定积分
一、题目
已知平面区域 $D$ $=$ $\left\{ \left(x, y \right) \ \biggm\vert \ |x| \leqslant y, \ \left( x^{2} + y^{2} \right)^{3} \leqslant y^{4} \right\}$, 计算二重积分 $\iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y$.
难度评级：
继续阅读“2019年考研数二第18题解析：利用对称性和极坐标求解二重定积分”在极限问题中，不要相信任何一个“等号”
一、题目
$$
I = \lim_{ x \rightarrow + \infty} \left[ \frac{x^{1+x}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}} \right] = ?
$$
基于乘除法相对含量的式子复杂度定义
一、前言
不同的数学式子之间相对而言的复杂度肯定是不相同的，但是，我们该如何衡量这里所说的“复杂度”呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」基于乘除法和加减法计算难度的不同，提出了一种衡量式子复杂度的新方式。
继续阅读“基于乘除法相对含量的式子复杂度定义”求导运算和次幂运算“强相关”的函数一般就是倒数函数
一、题目
若函数 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)$ $=$ $f^{2}(x)$, 则当 $n$ 为大于等于 $2$ 的正整数时，$f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$ $=$ $?$
»A« $n! f^{2n}(x)$
»B« $n! f^{n+1}(x)$
»C« $n f^{2n}(x)$
»D« $n f^{n+1}(x)$
高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图
一、前言
在高等数学中，极限问题是一类非常重要的问题。而极限类问题又常常表现为一些 未 定 式 的形式。
但是，什么样的式子是“ 真 未 定 式 ”？什么样的式子是“ 假 未 定 式 ”？对于这些未定式我们又该使用什么样的方法进行转换呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过解题思路简图为同学们做一个详细的讲解。
继续阅读“高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图”为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”
一、前言
传统上，关于“尖点为什么不可导”，其实并不构成一个“问题”，因为，尖点就是依据其不可导性被定义的。
但是，在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于最基本的数学公理，从全新的“峰”式视角，为同学们解释为什么尖点一定是不可导点，从而让同学们对有关知识建立更加深刻和形象的理解。
继续阅读“为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点””判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法
一、前言
直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？
如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。
例如，图 01 和图 02 中的点 $O (0,0)$ 都是尖点，在点 $O (0, 0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：
但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落 圆 法 ”，让同学们利用直观的 几 何 性 质 理解“ 尖 点 ”和“ 非 尖 点 ”的区别。
继续阅读“判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法”峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？
一、前言
在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x = 0$ 或者 $x \rightarrow 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。
继续阅读“峰式思维：等于零和趋于零在计算的时候到底有啥区别？”