在本文中，荒原之梦考研数学将通过图示的方式，给大家阐述清楚数列的有界、发散、收敛这三个概念之间的异同点，方便大家在其他辅导资料中常见的定义和举特例的方式之外，用更加形象的方式理解这三者之间的区别。
继续阅读“图示：数列的有界、发散与收敛间的区别与联系”
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在本的示意图中：
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[1]. 横坐标表示数列的项数 $n$, 从左向右依次增大；
[2]. 纵坐标表示数列的值 $\left\{ x_{n} \right\}$, 从下到上依次增大；
[3]. 同一个坐标系中不同颜色的点对应的项数 $n$ 不相等，但都属于同一个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$
$$
I = \lim _{ x \rightarrow 3 } \frac { \textcolor{pink}{ x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } }} { \textcolor{yellow}{ ( x – 3 ) ^ { 2 } }} = ?
$$
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继续阅读“如果倒数的极限等于零，那么原式的极限就是无穷大”已知有数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$, 那么，这两个数列的乘积数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 的敛散性该怎么判断？
在本文中，荒原之梦考研数学就将通过一些例子，给同学们讲明白上述这个问题。
继续阅读“数列乘积极限的相关结论”设函数 $f ( x )$ 在 $[ – a , a ]$ 上具有 $2$ 阶连续导数，证明：
(1) 若 $f ( 0 ) = 0$, 则存在 $\xi \in ( – a , a )$, 使得 $f ^ { \prime \prime } ( \xi )$ $=$ $\frac { 1 } { a ^ { 2 } }$ $[ f ( a ) + f ( – a ) ]$;
(2) 若 $f ( x )$ 在 $( – a , a )$ 内取得极值，则存在 $\eta \in ( – a , a )$, 使得 $\left| f ^ { \prime \prime } ( \eta ) \right|$ $\geq$ $\frac { 1 } { 2 a ^ { 2 } }$ $| f ( a ) – f ( – a ) |$.
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继续阅读“2023年考研数二第21题解析：泰勒公式、存在性的理解”我们知道，泰勒公式不仅能近似表示某个展开点处的函数情况，还能够近似表示该展开点周围一定范围内的被展开点的处的函数情况（相关文章可以参考这里）。
那么，在本文中，荒原之梦考研数学将通过比较函数 $f(x)$ $=$ $e ^{x}$ 在 $x = 0$ 处的原函数与泰勒展开式所构成的函数，用图示的方法让大家更直观清晰的理解泰勒定理中展开点与被展开点的情况。
继续阅读“泰勒定理的展开点及附近邻域内被展开点的情况（图示）”$$
I = \int \frac{\sin ^{2} x}{\left( x \cos x – \sin x \right) ^{2}} \mathrm{~d} x
$$
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继续阅读“殊途同归：用两种不同的分部积分方法计算同一道题”已知，$A$, $B$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A B$ $=$ $O$, 则下列选项正确的是哪个？
(A) $A=O$ 或 $B=O$
(B ) $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$
(C) $A + B = O$
(D) $|A| + |B| = 0$
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继续阅读“对题目的总结可以通过举例的方式记忆”$$
I = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
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继续阅读“平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算”虽然我们常常用泰勒展开式来“拟合”函数在“ 一 点 处 ”的情况，但是，泰勒展开式其实是具备描述函数在“ 一 点 处 附 近 ”的情况这个能力的，下面就跟随「荒原之梦考研数学」一起，看看这是为啥吧。
继续阅读“泰勒公式并不是只能近似表示函数在一点处的情况，还能近似表示一个较小区间内函数的情况”$$
I = \int \frac { \arctan \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { 2 x } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
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继续阅读“若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换”在涉及极限运算的题目中，我们需要特别注意左极限和右极限的问题，因为这两个极限有可能是不相等的。
在本文中，「荒原之梦考研数学」就对高等数学中常用的左右极限不相等的例子做一个汇总，并通过图示的形式加深同学们对这些例子的理解和掌握。
继续阅读“常用的左右极限汇总（图示）”$$
I = \int _ { – 1 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x = ?
$$
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继续阅读“为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x”已知 $f ^{\prime} (a)$ $=$ $f ^{\prime \prime} (a)$ $=$ $0$, 且 $f ^{\prime \prime \prime} (a)$ $>$ $0$, 则下列结论中，正确的是哪个？
[A]. $(a, f(a))$ 是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点
[B]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极小值
[C]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极大值
[D]. $f ^{\prime} (a)$ 是 $f ^{\prime} (x)$ 的极大值
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继续阅读“这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来”我们知道，对 $\frac{u}{v}$ 求导（其中 $v \neq 0$），有如下公式：
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\left( \frac{u}{v} \right) ^{\prime} = \frac{u ^{\prime} v – u v ^{\prime} }{v ^{ 2 }}
$$
那么，这个公式除了可以用来对分式进行求导，还能用还做什么呢？
在接下来的文章中，「荒原之梦考研数学」就将为大家揭开谜底。
继续阅读“求导会导致分式中分母的次幂增加：我们可以利用这个性质降低分母中的次幂”