题目
求解：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x – t} e^{t} \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{3}}}.
$$
解析
观察可知，题目所给式子的分子是一个变上限积分，对于这样的积分我们一般需要进行求导运算。
但是，这里需要注意的是，由于 $\int_{0}^{x} \sqrt{x – t} e^{t} \mathrm{d} t$ 中事实上有两个变量，即 $x$ 和 $t$, 而且被积的式子 $\sqrt{x – t} e^{t}$ 中含有与积分上限相同的变量 $x$.
我们知道，在对变限积分求导时，我们需要用积分上限或者下限中的变量替换被积函数中【唯一】的变量（即“积分变量”），如果被积函数中的变量不唯一，那么，我们就需要将除了积分变量之外的其余变量视为常数，并且将这些被视为常数的变量移到积分的外边，以免受变限积分求导过程的影响。
在本题中，我们可以通过积分式子 $\int_{0}^{x} \sqrt{x – t} e^{t} \mathrm{d} t$ 中的 $\mathrm{d} t$ 判断出，积分变量是 $t$, 在积分没有被求导过程消去之前，需要被视为常数的变量是 $x$.
为了将需要被视为常数的变量 $x$ 移动到积分式子的外面，我们一般需要用到换元法，而根据换元方式的不同，本题至少有以下两种解法：
方法一
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x – t} e^{t} \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
令 u = x – t \Rightarrow
$$
$$
{\color{White}
\left\{\begin{matrix}
u = x – t;\\
t = x – u.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
}
$$
$$
{\color{White}
\left\{\begin{matrix}
t \in (0,x);\\
u \in (x , 0).
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
}
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{x}^{0} \sqrt{u} e^{x-u} \mathrm{d} (x-u)}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{ e^{x} \int_{x}^{0} \sqrt{u} e^{-u} [-\mathrm{d} (u)]}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{u} e^{-u} \mathrm{d} u}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
注：
[1]. $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} e^{x} = 0$.
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{u} e^{-u} \mathrm{d} u}{x^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow
$$
$$
{\color{White}使用洛必达法则，分子分母同时求导 \Rightarrow}
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x} e^{-x}}{\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\frac{3}{2}\sqrt{x}} = \frac{2}{3}.
$$
方法二
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x – t} e^{t} \mathrm{d} t}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
令 u = \sqrt{x – t} \Rightarrow
$$
$$
{\color{White}
\left\{\begin{matrix}
u = \sqrt{x – t};\\
t = x – u^{2}.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
}
$$
$$
{\color{White}
\left\{\begin{matrix}
t \in (0, x);\\
u \in (\sqrt{x}, 0).
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
}
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{\sqrt{x}}^{0} u e^{x-u^{2}} \mathrm{d} (x – u^{2})}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x} \int_{\sqrt{x}}^{0} u e^{-u^{2}} [-2u \mathrm{d} (u)]}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x} \int_{0}^{\sqrt{x}} u e^{-u^{2}} [2u \mathrm{d} (u)]}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 e^{x} \int_{0}^{\sqrt{x}} u^{2} e^{-u^{2}} \mathrm{d} u}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 e^{x} \int_{0}^{\sqrt{x}} u^{2} e^{-u^{2}} \mathrm{d} u}{x^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow
$$
$$
{\color{White}使用洛必达法则，分子分母同时求导 \Rightarrow}
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 e^{x} x e^{-x} (\sqrt{x})^{‘}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2 x (\frac{1}{2} x ^{\frac{-1}{2}})}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3}.
$$