2017年考研数二第15题解析：变限积分、洛必达法则、无穷小

题目

求解：

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x - t} e^{t} d t}{\sqrt{x^{3}}} .$

观察可知，题目所给式子的分子是一个变上限积分，对于这样的积分我们一般需要进行求导运算。

但是，这里需要注意的是，由于 $\int_{0}^{x} \sqrt{x - t} e^{t} d t$ 中事实上有两个变量，即 $x$ 和 $t$ , 而且被积的式子 $\sqrt{x - t} e^{t}$ 中含有与积分上限相同的变量 $x$ .

我们知道，在对变限积分求导时，我们需要用积分上限或者下限中的变量替换被积函数中【唯一】的变量（即“积分变量”），如果被积函数中的变量不唯一，那么，我们就需要将除了积分变量之外的其余变量视为常数，并且将这些被视为常数的变量移到积分的外边，以免受变限积分求导过程的影响。

在本题中，我们可以通过积分式子 $\int_{0}^{x} \sqrt{x - t} e^{t} d t$ 中的 $d t$ 判断出，积分变量是 $t$ , 在积分没有被求导过程消去之前，需要被视为常数的变量是 $x$ .

为了将需要被视为常数的变量 $x$ 移动到积分式子的外面，我们一般需要用到换元法，而根据换元方式的不同，本题至少有以下两种解法：

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x - t} e^{t} d t}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$令 u = x - t \Rightarrow$

${\begin{matrix} u = x - t; \\ t = x - u . \end{matrix} \Rightarrow$

${\begin{matrix} t \in (0, x); \\ u \in (x, 0) . \end{matrix} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{x}^{0} \sqrt{u} e^{x - u} d (x - u)}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} \int_{x}^{0} \sqrt{u} e^{- u} [- d (u)]}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{u} e^{- u} d u}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

注：
[1]. $lim_{x \to 0^{+}} e^{x} = 0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{u} e^{- u} d u}{x^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow$

$使用洛必达法则，分子分母同时求导 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} e^{- x}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{\frac{3}{2} \sqrt{x}} = \frac{2}{3} .$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{x - t} e^{t} d t}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$令 u = \sqrt{x - t} \Rightarrow$

${\begin{matrix} u = \sqrt{x - t}; \\ t = x - u^{2} . \end{matrix} \Rightarrow$

${\begin{matrix} t \in (0, x); \\ u \in (\sqrt{x}, 0) . \end{matrix} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\int_{\sqrt{x}}^{0} u e^{x - u^{2}} d (x - u^{2})}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} \int_{\sqrt{x}}^{0} u e^{- u^{2}} [- 2 u d (u)]}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x} \int_{0}^{\sqrt{x}} u e^{- u^{2}} [2 u d (u)]}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 e^{x} \int_{0}^{\sqrt{x}} u^{2} e^{- u^{2}} d u}{\sqrt{x^{3}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 e^{x} \int_{0}^{\sqrt{x}} u^{2} e^{- u^{2}} d u}{x^{\frac{3}{2}}} \Rightarrow$

$使用洛必达法则，分子分母同时求导 \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 e^{x} x e^{- x} (\sqrt{x})^{‘}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}} \Rightarrow$

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} .$