2011年考研数二第06题解析

题目

设 $I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx$, $J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot xdx$, $K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos xdx$, 则 $I,J,K$ 的大小关系为 $()$.

$$(A)I<J<K$$

$$(B)I<K<J$$

$$(C)J<I<K$$

$$(D)K<J<I$$

解析

如果一个定积分是收敛的，那么，这个定积分的值就由积分上下限和被积函数两者决定。因此，如果 $I$, $J$, $K$ 这三个积分都是收敛的，那么，由于他们的积分上下限都一样，我们只需要确定被积函数在区间 $(0,\frac{\pi }{4})$ 上的大小关系即可。

由于当 $x\to 0$ 时：

$$\sin x\to 0;$$

$$\cot x\to \mathrm{\infty };$$

$$\cos x\to 1.$$

当 $x\to \frac{\pi }{4}$ 时：

$$\sin x\to \frac{\sqrt{2}}{2};$$

$$\cot x\to 1;$$

$$\cos x\to \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

于是，当 $x\to 0$ 时：

$$\ln \sin x\to –\mathrm{\infty };$$

$$\ln \cot x\to +\mathrm{\infty }.$$

即，${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx$ 和 ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot xdx$ 是反常积分（瑕积分），瑕点为 $x=0$, ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos xdx$ 则是正常积分。

正常积分一定收敛于一个确切的有限数值，那么，我们只需要检查上述两个反常积分是否收敛即可。

对于 ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx$, 有：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx=$$

$$x\cdot \ln \sin x{|}_0^{\frac{\pi }{4}}–{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}xd(\ln \sin x)=$$
$$x\cdot \ln \sin x{|}_0^{\frac{\pi }{4}}–{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}dx.$$

又，当 $x\to 0$ 时：

(1)

$$x\cdot \ln \sin x=$$

$$\frac{x}{\sin x}\cdot \sin x\cdot \ln \sin x=$$

$$1\cdot \sin x\cdot \ln \sin x\Rightarrow$$

$$\mathrm{令}t=\sin x,t\to 0,\mathrm{则}：$$

$$\sin x\cdot \ln \sin x=$$

$$t\cdot \ln t=$$

$$\frac{\ln t}{\frac{1}{t}}=$$

$$\frac{(\ln t{)}^{‘}}{(\frac{1}{t}{)}^{‘}}=$$

$$\frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{-t^2}}=-t=0.$$

(2)

$$x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=$$

$$\frac{x}{\sin x}\cdot \cos x=$$

$$1\cdot \cos x=\cos x=1.$$

且易知，当 $x\to \frac{\pi }{4}$ 时，$x\cdot \ln \sin x$ 和 $x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$ 都收敛于一个确定的有限数值，在 $(0,\frac{\pi }{4})$ 区间上，这二者也都没有瑕点。因此：

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x\cdot \ln \sin x$ 和 ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$ 均为收敛积分，故：

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx$ 是一个收敛积分。

又：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot xdx=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln (\frac{\cos x}{\sin x})dx=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\ln \cos x–\ln \sin x)dx=$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos xdx–{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx\Rightarrow$$

由于 ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos xdx$ 和 ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx$ 均为收敛积分，因此：

${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot xdx$ 是一个收敛积分。

至此，我们知道，$I={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \sin xdx$, $J={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cot xdx$, $K={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\ln \cos xdx$ 都是收敛积分，又由于在区间 $(0,\frac{\pi }{4})$ 上，有：

$$\sin x<\cos x<\cot x.$$

因此：

$$I<K<J.$$

因此，$B$ 选项正确。