题目
设 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx$, $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x dx$, $K = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x dx$, 则 $I, J, K$ 的大小关系为 $( )$.
$$
(A) I < J < K
$$
$$
(B) I < K < J
$$
$$
(C) J < I < K
$$
$$
(D) K < J < I
$$
解析
如果一个定积分是收敛的，那么，这个定积分的值就由积分上下限和被积函数两者决定。因此，如果 $I$, $J$, $K$ 这三个积分都是收敛的，那么，由于他们的积分上下限都一样，我们只需要确定被积函数在区间 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上的大小关系即可。
由于当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\sin x \rightarrow 0;
$$
$$
\cot x \rightarrow \infty;
$$
$$
\cos x \rightarrow 1.
$$
当 $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ 时：
$$
\sin x \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2};
$$
$$
\cot x \rightarrow 1;
$$
$$
\cos x \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
于是，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
\ln \sin x \rightarrow – \infty;
$$
$$
\ln \cot x \rightarrow + \infty.
$$
即，$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx$ 和 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x dx$ 是反常积分（瑕积分），瑕点为 $x=0$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x dx$ 则是正常积分。
正常积分一定收敛于一个确切的有限数值，那么，我们只需要检查上述两个反常积分是否收敛即可。
对于 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx$, 有：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx =
$$
$$x \cdot \ln \sin x |_{0}^{\frac{\pi}{4}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x d(\ln \sin x) =$$
$$x \cdot \ln \sin x |_{0}^{\frac{\pi}{4}} – \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} dx.$$
又，当 $x \rightarrow 0$ 时：
(1)
$$
x \cdot \ln \sin x =
$$
$$
\frac{x}{\sin x} \cdot \sin x \cdot \ln \sin x =
$$
$$
1 \cdot \sin x \cdot \ln \sin x \Rightarrow
$$
$$
令 t = \sin x, t \rightarrow 0, 则：
$$
$$
\sin x \cdot \ln \sin x =
$$
$$
t \cdot \ln t =
$$
$$
\frac{\ln t}{\frac{1}{t}} =
$$
$$
\frac{(\ln t)^{‘}}{(\frac{1}{t})^{‘}} =
$$
$$
\frac{\frac{1}{t}}{\frac{1}{-t^{2}}} = -t = 0.
$$
(2)
$$
x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} =
$$
$$
\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x =
$$
$$
1 \cdot \cos x = \cos x = 1.
$$
且易知，当 $x \rightarrow \frac{\pi}{4}$ 时，$x \cdot \ln \sin x$ 和 $x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$ 都收敛于一个确定的有限数值，在 $(0, \frac{\pi}{4})$ 区间上，这二者也都没有瑕点。因此：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cdot \ln \sin x$ 和 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$ 均为收敛积分，故：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx$ 是一个收敛积分。
又：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x dx =
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (\frac{\cos x}{\sin x}) dx =
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\ln \cos x – \ln \sin x) dx =
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x dx – \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx \Rightarrow
$$
由于 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x dx$ 和 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx$ 均为收敛积分，因此：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x dx$ 是一个收敛积分。
至此，我们知道，$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \sin x dx$, $J = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cot x dx$, $K = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln \cos x dx$ 都是收敛积分，又由于在区间 $(0, \frac{\pi}{4})$ 上，有：
$$
\sin x < \cos x < \cot x.
$$
因此：
$$
I < K < J.
$$
因此，$B$ 选项正确。