2011年考研数二第05题解析

题目

设函数 $f(x)$, $g(x)$ 均有二阶连续导数,满足 $f(0)>0$, $g(0)<0$, 且 $f^{‘}(0)=g^{‘}(0)=0$, 则函数 $z=f(x)g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是().

$$
A. f^{”}(0) < 0, g^{”}(0) > 0
$$

$$
B. f^{”}(0) < 0, g^{”}(0) < 0
$$

$$
C. f^{”}(0) > 0, g^{”}(0) > 0
$$

$$
D. f^{”}(0) > 0, g^{”}(0) < 0
$$

解析

由题知:

$$
z(x, y) = f(x)g(y).
$$

则:

$$
\frac{\partial z}{\partial x} = f^{‘}(x)g(y);
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y} = f(x)g^{‘}(y).
$$

又由于:

$$
f^{‘}(0) = g^{‘}(0) = 0.
$$

故:

$$
\frac{\partial z}{\partial x}|_{(0, 0)} = f^{‘}(0)g(0) = 0;
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial y}|_{(0, 0)} = f(0)g^{‘}(0) = 0.
$$

即 $z(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的一阶偏导存在且点 $(0, 0)$ 是 $z(x, y)$ 的一个极值点。

进而:

$$A = z^{”}_{x x}(0, 0) = \frac{\partial ^{2} z}{\partial ^{2} x}|_{(0, 0)} = f^{”}(0)g(0);$$
$$B = z^{”}_{x y}(0, 0) = \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}|_{(0, 0)} = f^{‘}(0) g^{‘}(0);$$
$$C = z^{”}_{yy}(0 ,0) = \frac{\partial ^{2} z}{\partial ^{2} y}|_{(0, 0)} = f(0)g^{”}(0).$$

由于,只有当 $AC-B^{2} > 0$ 时,$z(x,y)$ 才有极值,同时,只有当 $A > 0$ 时,$z(x, y)$ 有极小值,且已知:

$$
f(0) > 0, g(0) < 0.
$$

故:

$$
A > 0 \Rightarrow f^{”}(0)g(0) > 0 \Rightarrow f^{”}(0) < 0.
$$

于是:

$$
AC-B^{2} > 0 \Rightarrow f^{”}(0)g(0) \cdot f(0)g^{”}(0) > 0 \Rightarrow g^{”}(0) > 0.
$$

综上可知,正确选项为:$A$.