2013年考研数二第01题解析

题目

设 $\cos x–1=x\sin a(x)$, 其中，$|a(x)|<\frac{\pi }{2}$, 则当 $x\to 0$ 时，$a(x)$ 是 $?$

$$A.\mathrm{比}x\mathrm{高}\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$B.\mathrm{比}x\mathrm{低}\mathrm{阶}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$C.\mathrm{与}x\mathrm{同}\mathrm{阶}\mathrm{但}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

$$D.\mathrm{与}x\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{的}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{小}$$

解析

$$1–\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2\Rightarrow$$

$$\cos x–1\sim –\frac{1}{2}{x}^2\Rightarrow$$

$$x\sin a(x)\sim –\frac{1}{2}{x}^2\Rightarrow$$

$$\sin a(x)\sim -\frac{1}{2}x.$$

又：

$$\sin a(x)\sim a(x)\Rightarrow$$

$$a(x)\sim –\frac{1}{2}x.$$

于是，$a(x)$ 是与 $x$ 同阶但不等价的无穷小。

综上可知，正确选项为 $C$.

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