2014年考研数二第11题解析

题目

设 $z=f(x,y)$ 是由 $e^{2yz}+x+y^2+z=\frac{7}{4}$ 确定的函数，则 $dz{|}_{(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}=?$

解析

本题是涉及全微分计算的题目，考研真题中已多次考到该知识。

将 $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$ 代入 $e^{2yz}+x+y^2+z=\frac{7}{4}$ 得：

$$e^z+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+z=\frac{7}{4}\Rightarrow$$

$$e^z+z=1\Rightarrow$$

$$z=0.$$

在式子 $e^{2yz}+x+y^2+z=\frac{7}{4}$ 等号两端对 $x$ 求偏导得：

$$e^{2yz}\cdot 2y\cdot \frac{\partial z}{\partial x}+1+\frac{\partial z}{\partial x}=0.\mathrm{①}$$

在式子 $e^{2yz}+x+y^2+z=\frac{7}{4}$ 等号两端对 $y$ 求偏导得：

$$e^{2yz}\cdot 2[z+y\cdot \frac{\partial z}{\partial y}]+2y+\frac{\partial z}{\partial y}=0.\mathrm{②}$$

将 $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$, $z=0$ 带入 $\mathrm{①}$ 式得：

$$2\cdot \frac{\partial z}{\partial x}=-1\Rightarrow$$

$$\frac{\partial z}{\partial x}=–\frac{1}{2}.$$

将 $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{2}$, $z=0$ 带入 $\mathrm{②}$ 式得：

$$2\cdot \frac{\partial z}{\partial y}=-1\Rightarrow$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=–\frac{1}{2}.$$

又：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.$$

于是：

$$dz=–\frac{1}{2}dx–\frac{1}{2}dy.$$

综上可知，正确答案为 $-\frac{1}{2}dx–\frac{1}{2}dy$.

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