一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
![各种积分符号的写法与含义汇总 | 荒原之梦考研数学 | 图片由 Stephen Wolfram, LLC 拍摄,采用 MIT 协议授权。](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2024/07/26/b92bf51f31bc706ef8192f76714131951d1233539f2d4274125d86b1484a7c56330606c3afb0178637770afa8c1e030bb915f4eb2942d7a08e12d067564aea6d.webp)
在考研高等数学中,我们会接触到很多种积分符号,这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中,「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义,在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
一重积分
一重积分的表示符号:
$$
\textcolor{springgreen}{
\int
}
$$
一重积分的变形符号:
$$
\textcolor{orange}{
\int_{a}^{b}
}
$$
Note
一重积分的几何意义:曲边梯形的面积。
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二重积分
二重积分的表示符号:
$$
\textcolor{springgreen}{
\iint
}
$$
二重积分的变形符号(其中 $D$ 表示封闭的平面区域):
$$
\textcolor{orange}{
\iint_{D}
}
$$
Note
二重积分的几何意义:曲顶柱体的体积。
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二重积分的物理意义:平面薄片的质量。
三重积分
三重积分的表示符号:
$$
\textcolor{springgreen}{
\iiint
}
$$
三重积分的变形符号(其中 $V$ 表示封闭的三维集合体):
$$
\textcolor{orange}{
\iiint_{V}
}
$$
Note
三重积分的物理意义:三维空间中的有界物体的质量。
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曲线积分(封闭曲线)
曲线积分的表示符号:
$$
\textcolor{springgreen}{
\oint
}
$$
曲线积分的变形符号(积分曲线 $L$ 是封闭的):
$$
\textcolor{orange}{
\oint_{L}
}
$$
曲线积分的变形符号(积分曲线 $L$ 是开放或封闭的):
$$
\textcolor{orange}{
\int_{L}
}
$$
Note
曲线积分的物理意义:物质曲线的质量、力场做功问题。
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曲面积分(封闭曲面):
曲面积分的表示符号:
%%%\textcolor{orange}{\oiint}%%%
曲面积分的变形符号(积分曲面 $S$ 是光滑且封闭的):
%%%\textcolor{orange}{\oiint_{S}}%%%
曲线积分的变形符号(积分曲面 $S$ 是开放或封闭的):
$$
\textcolor{orange}{
\iint_{S}
}
$$
Note
曲面积分的物理意义:物质曲面质量问题、流量问题。
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拓展:积分符号的历史
积分符号 “$\int$” 最初由德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨(和英国数学家牛顿同时代)于 17 世纪末开始使用。之所以使用这个符号作为积分符号,是因为积分本身就是一种求和(拉丁语中表示“求和”含义的单词是:summa),而英文中的“长 s”写作:”ſ”——也就是说,积分符号演化自 “ſ” 这个符号。
此外,我们现在常用的积分符号的写法源于英文文献(图 02 中左起第一个),在德文文献(图 02 中左起第二个)和俄文文献(图 02 中左起第三个)中的写法则稍有区别:
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
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通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。