考研数学中各种积分符号的写法与含义汇总

一、前言

在考研高等数学中，我们会接触到很多种积分符号，这些积分符号有着各自的书写方式与含义。在本文中，「荒原之梦考研数学」就汇总常见的积分符号及其含义，在文末还有一段积分符号的历史介绍给大家哦~

二、正文

一重积分

一重积分的表示符号：

$$\int$$

一重积分的变形符号：

$${\int }_a^b$$

Note

一重积分的几何意义：曲边梯形的面积。

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二重积分

二重积分的表示符号：

$$\iint$$

二重积分的变形符号（其中 $D$ 表示封闭的平面区域）：

$${\iint }_D$$

Note

二重积分的几何意义：曲顶柱体的体积。
二重积分的物理意义：平面薄片的质量。

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三重积分

三重积分的表示符号：

$$\iiint$$

三重积分的变形符号（其中 $V$ 表示封闭的三维集合体）：

$${\iiint }_V$$

Note

三重积分的物理意义：三维空间中的有界物体的质量。

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曲线积分（封闭曲线）

曲线积分的表示符号：

$$\oint$$

曲线积分的变形符号（积分曲线 $L$ 是封闭的）：

$${\oint }_L$$

曲线积分的变形符号（积分曲线 $L$ 是开放或封闭的）：

$${\int }_L$$

Note

曲线积分的物理意义：物质曲线的质量、力场做功问题。

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曲面积分（封闭曲面）：

曲面积分的表示符号：

$$\textcolor{orange}{\oiint}$$

曲面积分的变形符号（积分曲面 $S$ 是光滑且封闭的）：

$$\textcolor{orange}{\oiint_{S}}$$

曲线积分的变形符号（积分曲面 $S$ 是开放或封闭的）：

$${\iint }_S$$

Note

曲面积分的物理意义：物质曲面质量问题、流量问题。

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拓展：积分符号的历史

积分符号 “$\int$” 最初由德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨（和英国数学家牛顿同时代）于 17 世纪末开始使用。之所以使用这个符号作为积分符号，是因为积分本身就是一种求和（拉丁语中表示“求和”含义的单词是：summa），而英文中的“长 s”写作：”ſ”——也就是说，积分符号演化自 “ſ” 这个符号。

此外，我们现在常用的积分符号的写法源于英文文献（图 02 中左起第一个），在德文文献（图 02 中左起第二个）和俄文文献（图 02 中左起第三个）中的写法则稍有区别：

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