当被积函数可以分离的时候，四重积分就是两个二重积分的积

一、题目

已知，$f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)$ $=$ $x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$, 其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x= 1$ 所围区域，则 $f(x, y)=?$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
\textcolor{springgreen}{
f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{~ d} u \mathrm{~ d} v
}
$$

对上式两边同时进行二重积分，得：

$$
\iint_{D} \textcolor{springgreen}{f(x, y)} \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=
$$

$$
\iint_{D} \textcolor{springgreen}{x y} \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y +
\iint_{D}\left[\textcolor{springgreen}{ \iint_{D} f(u, v) \mathrm{~ d} u \mathrm{~ d} v} \right] \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

进而：

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=
$$

$$
\iint_{D} x y \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y +
\iint_{D} f(u, v) \mathrm{~ d} u \mathrm{~ d} v \cdot \textcolor{orangered}{\iint_{D} \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y } \tag{1}
$$

又：

$$
\iint_{D} x y \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\int_{0}^{1} x \mathrm{~ d} x \int_{0}^{x^{2}} y \mathrm{~ d} y=
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{5} \mathrm{~ d} x=\left.\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} x^{6}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{12}
$$

又：

$$
\iint_{D}{ } \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\int_{0}^{1} \mathrm{~ d} x \int_{0}^{x^{2}} \mathrm{~ d} y=\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.\frac{1}{3} x^{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3}
$$

Tips:

由于符号不能改变函数本身，因此 $\iint_{D} f(u, v) \mathrm{~ d} u \mathrm{~ d} v$ 表示的就是 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y$

于是，(1) 式可以转化为：

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\frac{1}{12}+\frac{1}{3} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y \Rightarrow
$$

$$
\frac{2}{3} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\frac{1}{12} \Rightarrow
$$

$$
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y-\frac{1}{3} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\frac{1}{12} \Rightarrow
$$

$$
\frac{2}{3} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{~ d} x \mathrm{~ d} y=\frac{1}{12} \Rightarrow
$$

$$
\iint_{D} f(x, y)=\frac{1}{12} \times \frac{3}{2}=\frac{1}{8}.
$$

---