数列乘积极限的相关结论

一、前言

已知有数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$, 那么，这两个数列的乘积数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 的敛散性该怎么判断？

在本文中，荒原之梦考研数学就将通过一些例子，给同学们讲明白上述这个问题。

二、正文

一、数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 都收敛

§1.1 结论

若数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 都收敛，则 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 一定收敛。

二、数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 一个收敛，一个发散

如果两数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 一个收敛，一个发散，则数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 的敛散性不能确定，其中：

§2.1 结论

若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛，且 $\lim _{ n \rightarrow \infty } x _{ n } = a \neq 0$ 即 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 不收敛于 $0$, 则当数列 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 发散时，数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 发散。

§2.1 证明

如果 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛，$\left\{ y _{ n } \right\}$ 发散时，$\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 收敛，则由 $y _{ n }$ $=$ $\frac{x _{ n } y _{ n }}{x _{ n }}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\text{收敛}}{\text{收敛}}$ $=$ $\text{收敛}$ 可知，数列 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 一定收敛，这与数列 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 发散相矛盾，因此，数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 一定发散。

Note

[01]. “$\frac{\text{收敛}}{\text{收敛}}$ $=$ $\text{收敛}$” 这一结论是根据极限除法法则得到的。

[02]. 由于数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和数列 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 并不具有特例性，所以，将本文中所有提到数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和数列 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 的地方互换也可以得出对应的相同结论。

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§2.2 结论

若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛，且收敛于 $0$, 即 $\lim _{ n \rightarrow \infty } x _{ n } = 0$, 则当 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 发散时，数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 可能收敛，也可能发散。

§2.2 特例

若令 $x _{ n } = \frac{1}{n}$, $y _{ n } = n$（此时，当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 趋于 $0$, 数列 $\left\{ y_{n} \right\}$ 发散）, 则 $x _{ n } y _{ n } = 1$, 故数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 收敛；

若令 $x _{ n } = \frac{1}{n}$, $y _{ n } = ( – 1 ) ^ { n } n$, 此时，$\lim _{ n \rightarrow \infty } x _{ n } = 0$, 且数列 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 发散，但是 $x _{ n } y _{ n } = ( – 1 ) ^ { n }$, 因此数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 发散。

三、数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 都发散

若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 都发散，数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 的敛散性不能确定，其中：

§3.1 结论

若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 都发散，且至少有一个是无穷大量数列，则 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 发散。

§3.1 证明

若 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 收敛，而 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 为无穷大量数列，则 $y _{ n } = \frac{x _{ n } y _{ n }}{x _{ n }}$ $\rightarrow$ $\frac{\text{常数}}{\infty}$ $\rightarrow$ $0$, 也就是说数列 $\left\{ y_{n} \right\}$ 此时一定收敛于 $0$, 但这与 $\left\{ y_{n} \right\}$ 发散的前提相矛盾，因此数列 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 一定发散，而不是收敛。

§3.2 结论

若 $\left\{ x _{ n } \right\}$, $\left\{ y _{ n } \right\}$ 发散但都不是无穷大量数列，则 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 可能收敛，也可能发散。

§3.2 特例

若令 $x _{ n } = y _{ n } = ( – 1 ) ^ { n }$, 则 $x _{ n } y _{ n }$ $=$ $(-1)^{2n}$ $=$ $1$, 则 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ 收敛；

若令 $x _{ n } = ( – 1 ) ^ { n }$, $y _{ n } = 1 – ( – 1 ) ^ { n }$, 此时 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 和 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 都发散，但是 $\left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ $=$ $\left\{ ( – 1 ) ^ { n } – (-1) ^{2n} \right\}$ $=$ $\left\{ ( – 1 ) ^ { n } – 1 \right\}$ 是发散的。

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