数列乘积极限的相关结论

一、前言

已知有数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$, 那么，这两个数列的乘积数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 的敛散性该怎么判断？

在本文中，荒原之梦考研数学就将通过一些例子，给同学们讲明白上述这个问题。

二、正文

一、数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都收敛

§1.1 结论

若数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都收敛，则 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 一定收敛。

二、数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 一个收敛，一个发散

如果两数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 一个收敛，一个发散，则数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 的敛散性不能确定，其中：

§2.1 结论

若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\ne 0$ 即 $\left\{x_n\right\}$ 不收敛于 $0$, 则当数列 $\left\{y_n\right\}$ 发散时，数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 发散。

§2.1 证明

如果 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，$\left\{y_n\right\}$ 发散时，$\left\{x_n{y}_n\right\}$ 收敛，则由 $y_n$ $=$ $\frac{x_n{y}_n}{x_n}$ $\iff$ $\frac{\text{收敛}}{\text{收敛}}$ $=$ $\text{收敛}$ 可知，数列 $\left\{y_n\right\}$ 一定收敛，这与数列 $\left\{y_n\right\}$ 发散相矛盾，因此，数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 一定发散。

Note

[01]. “$\frac{\text{收敛}}{\text{收敛}}$ $=$ $\text{收敛}$” 这一结论是根据极限除法法则得到的。

[02]. 由于数列 $\left\{x_n\right\}$ 和数列 $\left\{y_n\right\}$ 并不具有特例性，所以，将本文中所有提到数列 $\left\{x_n\right\}$ 和数列 $\left\{y_n\right\}$ 的地方互换也可以得出对应的相同结论。

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§2.2 结论

若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，且收敛于 $0$, 即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$, 则当 $\left\{y_n\right\}$ 发散时，数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 可能收敛，也可能发散。

§2.2 特例

若令 $x_n=\frac{1}{n}$, $y_n=n$（此时，当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，数列 $\left\{x_n\right\}$ 趋于 $0$, 数列 $\left\{y_n\right\}$ 发散）, 则 $x_n{y}_n=1$, 故数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 收敛；

若令 $x_n=\frac{1}{n}$, $y_n=(–1{)}^{n}n$, 此时，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$, 且数列 $\left\{y_n\right\}$ 发散，但是 $x_n{y}_n=(–1{)}^n$, 因此数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 发散。

三、数列 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都发散

若 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都发散，数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 的敛散性不能确定，其中：

§3.1 结论

若 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都发散，且至少有一个是无穷大量数列，则 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 发散。

§3.1 证明

若 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 收敛，而 $\left\{x_n\right\}$ 为无穷大量数列，则 $y_n=\frac{x_n{y}_n}{x_n}$ $\to$ $\frac{\text{常数}}{\mathrm{\infty }}$ $\to$ $0$, 也就是说数列 $\left\{y_n\right\}$ 此时一定收敛于 $0$, 但这与 $\left\{y_n\right\}$ 发散的前提相矛盾，因此数列 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 一定发散，而不是收敛。

§3.2 结论

若 $\left\{x_n\right\}$, $\left\{y_n\right\}$ 发散但都不是无穷大量数列，则 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 可能收敛，也可能发散。

§3.2 特例

若令 $x_n=y_n=(–1{)}^n$, 则 $x_n{y}_n$ $=$ $(-1{)}^{2n}$ $=$ $1$, 则 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ 收敛；

若令 $x_n=(–1{)}^n$, $y_n=1–(–1{)}^n$, 此时 $\left\{x_n\right\}$ 和 $\left\{y_n\right\}$ 都发散，但是 $\left\{x_n{y}_n\right\}$ $=$ $\{(–1{)}^n–(-1{)}^{2n}\}$ $=$ $\{(–1{)}^n–1\}$ 是发散的。

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