趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况

一、题目

难度评级：

二、解析

准备工作

根据三角函数 $\sin$ 的二倍角公式，有：

$$1–\cos (ax)=2{\sin }^2\left(\frac{ax}{2}\right)$$

当 $a$ $>$ $0$ 时

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1–\cos (ax)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{ax}{2}\right)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{–x}{\sqrt{2}\sin \left(\frac{ax}{2}\right)}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{–x}{\sqrt{2}\frac{ax}{2}}\\ \\ & =\frac{-2}{\sqrt{2}a}\\ \\ & =\frac{\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathit{a}}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1–\cos (ax)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{ax}{2}\right)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{+x}{\sqrt{2}\sin \left(\frac{ax}{2}\right)}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{+x}{\sqrt{2}\frac{ax}{2}}\\ \\ & =\frac{+2}{\sqrt{2}a}\\ \\ & =\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathit{a}}\end{array}$$

当 $a$ $<$ $0$ 时

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1–\cos (ax)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{ax}{2}\right)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{2}\sin \left(\frac{ax}{2}\right)}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x}{\sqrt{2}\frac{ax}{2}}\\ \\ & =\frac{2}{\sqrt{2}a}\\ \\ & =\frac{\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathit{a}}\end{array}$$

$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{\sqrt{1–\cos (ax)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x}{\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{ax}{2}\right)}}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-x}{\sqrt{2}\sin \left(\frac{ax}{2}\right)}\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-x}{\sqrt{2}\frac{ax}{2}}\\ \\ & =\frac{-2}{\sqrt{2}a}\\ \\ & =\frac{\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{2}}}{\mathit{a}}\end{array}$$

综上可知，无论 $a$ $>$ $0$ 的时候，还是 $a$ $<$ $0$ 的时候，式子 $I$ 的左右极限都不相等，因此，在题目给定条件下，式子 $I$ 的极限不存在

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