2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法)

一、题目

设有两个数列 $a_n$, $b_n$, 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $a_n$ $=0$, 则（）

( A ) 当 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ 收敛时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $b_n$ 收敛.

( B ) 当 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ 发散时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $b_n$ 发散.

( C ) 当 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|b_n|$ 收敛时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n^2$ $b_n^2$ 收敛.

( D ) 当 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|b_n|$ 发散时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n^2$ $b_n^2$ 发散.

二、解析

由题目信息可知，当 $n$ $\to$ $\mathrm{\infty }$ 时，数列 $a_n$ 是收敛的。

方法一：反例法

A 项：

令 $a_n$ $=$ $b_n$ $=$ $(-1{)}^{n-1}$ $\frac{1}{\sqrt{n}}$.

则此时 $a_n$ 是一个收敛数列，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ 也收敛（根据交错级数的莱布尼茨准则判别法可得此结论），但 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $b_n$ $=$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n}$ 发散（由常见级数的敛散性可得此结论）。

由此构成了对 A 项的反例，A 项错误。

注 1. 交错级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^{n-1}{u}_n$ $(u_n>0)$ 的判别法（莱布尼茨准则）：

若交错级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^{n-1}{u}_n$ $(u_n>0)$ 满足如下条件：

① $u_n$ $⩾$ $u_{n+1}$, $(n=1,2,3,\dots )$;

② $lim$ $u_n$ $=$ $0$,

则交错级数收敛，其和 $S$ $⩽$ $u_1$, 余项 $|R_n|$ $⩽$ $u_{n+1}$.

注 2. 常见级数的敛散性：

$p$ 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^p}$ $\{\begin{array}{cc}\mathrm{收}\mathrm{敛}& p>1,\\ \mathrm{发}\mathrm{散}& p⩽1.\end{array}$

B 项：

令 $a_n$ $=$ $b_n$ $=$ $\frac{1}{n}$, 则

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $b_n$ $=$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^2}$.

此时，数列 $a_n$ 是一个收敛数列，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ 是发散的，但是 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^2}$ 是收敛的。

由此构成了对 B 项的反例，B 项错误。

D 项：

和 B 项一样，令 $a_n$ $=$ $b_n$ $=$ $\frac{1}{n}$, 则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n^2$ $b_n^2$ $=$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{1}{n^4}$ 是收敛的。

由此构成了对 D 项的反例，D 项错误。

综上可知，排除了 A, B, D 三个选项后，正确选项一定是 C 项。

方法二：用级数收敛的必要条件推导证明

我们可以使用级数收敛的必要条件直接证明 C 项正确。

级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛的必要条件：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$.

由于 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$ 是级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛的必要条件，因此，根据“小充分大必要”的原则，我们知道：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$;

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $u_n$ $=$ $0$ $\nRightarrow$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛。

由于 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $a_n$ $=$ $0$, 从而存在 $M$ $>$ $0$, 有 $|a_n|$ $⩽$ $M$, 即：

$a_n^2$ $b_n^2$ $⩽$ $M^2$ $b_n^2$. 又因为 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $|b_n|$ 收敛，故有：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $|b_n|$ $=0$.

又根据如下定理：

设 $c$ 为非零常数，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $c{u}_n$ 具有相同的敛散性。

因此，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $M^2$ $|b_n|$ 收敛，即：

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{lim}}$ $M^2$ $|b_n|$ $=$ $0$.

于是：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{M^2|b_n||b_n|}{|b_n|}$ $=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $M^2$ $|b_n|$ $=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{M^2{b}_n^2}{|b_n|}$ $=$ $0$.

接下来，根据“比较判别法的极限形式”：

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 与 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 均为正项级数，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{u_n}{v_n}$ $=$ $A(v_n\ne 0)$.

① 若 $0$ $⩽$ $A$ $⩽$ $+$ $\mathrm{\infty }$, 且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 收敛，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 收敛.

② 若 $0$ $⩽$ $A$ $⩽$ $+$ $\mathrm{\infty }$, 且 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $v_n$ 发散，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $u_n$ 发散.

于是我们知道，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $M^2{b}_n^2$ 收敛。

又因为 $a^2$ $b^2$ $⩽$ $M^2$ $b^2$, 所以：

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $a^2{b}_n^2$ 收敛.

由此得证 C 项正确。

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