一、题目
设有两个数列 ${a_{n}}$, ${b_{n}}$, 若 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $a_{n}$ $=0$, 则（）
( A ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 收敛.
( B ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ 发散.
( C ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 收敛.
( D ) 当 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 发散时，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ 发散.
二、解析
由题目信息可知，当 $n$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，数列 ${a_{n}}$ 是收敛的。
方法一：反例法
A 项：
令 $a_{n}$ $=$ $b_{n}$ $=$ $(-1)^{n-1}$ $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
则此时 ${a_{n}}$ 是一个收敛数列，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 也收敛（根据交错级数的莱布尼茨准则判别法可得此结论），但 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n}$ 发散（由常见级数的敛散性可得此结论）。
由此构成了对 A 项的反例，A 项错误。
注 1. 交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}u_{n}$ $(u_{n}>0)$ 的判别法（莱布尼茨准则）：
若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}u_{n}$ $(u_{n}>0)$ 满足如下条件：
① $u_{n}$ $\geqslant$ $u_{n+1}$, $(n = 1,2,3, \dotsc)$;
② $\lim$ $u_{n}$ $=$ $0$,
则交错级数收敛，其和 $S$ $\leqslant$ $u_{1}$, 余项 $|R_{n}|$ $\leqslant$ $u_{n+1}$.
注 2. 常见级数的敛散性：
$p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}$ $\left\{\begin{matrix} 收敛 & p>1,\\ 发散 & p \leqslant 1. \end{matrix}\right.$
B 项：
令 $a_{n}$ $=$ $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{n}$, 则
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $b_{n}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$.
此时，数列 ${a_{n}}$ 是一个收敛数列，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ 是发散的，但是 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{2}}$ 是收敛的。
由此构成了对 B 项的反例，B 项错误。
D 项：
和 B 项一样，令 $a_{n}$ $=$ $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{n}$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ $=$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{4}}$ 是收敛的。
由此构成了对 D 项的反例，D 项错误。
综上可知，排除了 A, B, D 三个选项后，正确选项一定是 C 项。
方法二：用级数收敛的必要条件推导证明
我们可以使用级数收敛的必要条件直接证明 C 项正确。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛的必要条件：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$.
由于 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$ 是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛的必要条件，因此，根据“小充分大必要”的原则，我们知道：
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛 $\Rightarrow$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$;
$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$ $\nRightarrow$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛。
由于 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $a_{n}$ $=$ $0$, 从而存在 $M$ $>$ $0$, 有 $|a_{n}|$ $\leqslant$ $M$, 即：
$a_{n}^{2}$ $b_{n}^{2}$ $\leqslant$ $M^{2}$ $b_{n}^{2}$. 又因为 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $|b_{n}|$ 收敛，故有：
$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $|b_{n}|$ $=0$.
又根据如下定理：
设 $c$ 为非零常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $cu_{n}$ 具有相同的敛散性。
因此，$\sum_{n=1}^{\infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ 收敛，即：
$\lim_{n=1}^{\infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $0$.
于是：
$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}|b_{n}||b_{n}|}{|b_{n}|}$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $M^{2}$ $|b_{n}|$ $=$ $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{M^{2}b_{n}^{2}}{|b_{n}|}$ $=$ $0$.
接下来，根据“比较判别法的极限形式”：
设 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 均为正项级数，且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ $=$ $A(v_{n} \neq 0)$.
① 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛.
② 若 $0$ $\leqslant$ $A$ $\leqslant$ $+$ $\infty$, 且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散.
于是我们知道，$\sum_{n=1}^{\infty}$ ${M^{2} b_{n}^{2}}$ 收敛。
又因为 $a^{2}$ $b^{2}$ $\leqslant$ $M^{2}$ $b^{2}$, 所以：
$\sum_{n=1}^{\infty}$ ${a^{2} b_{n}^{2}}$ 收敛.
由此得证 C 项正确。
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