一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：
方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[ a , a + 1 ]$ 上都至少有一个实根。
难度评级：
二、解析 
Note
分析可知，若令 $\varphi ( x )$ $=$ $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$, 其中 $x \in [ a , a + 1 ]$, 则题目要证明的其实就是函数 $\varphi(x)$ 在区间 $[a, a+1]$ 上至少有一个实数根。
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首先，当 $x = a$ 时：
$$
\varphi ( a ) = f ( a ) – f ( a – 1 )
$$
接着，当 $x = a+1$ 时：
$$
\varphi ( a + 1 ) = f ( a + 1 ) – f ( a )
$$
又因为 $f(x)$ 是周期 $T$ 为 $2$ 的函数，因此：
$$
f(a + 1) = f(a – 1)
$$
Tip
$a+1$ $-$ $(a-1)$ $=$ $2$ $=$ $T$
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所以：
$$
\varphi(a) = f ( a – 1 ) – f ( a ) = – \varphi ( a )
$$
因此，当 $\varphi(a) \neq 0$ 的时候，$\varphi(a)$ 与 $- \varphi(a)$ 一定是异号的，因此，在区间任一长度为 $1$ 的区间 $[a, a+1]$ 之间一定存在至少一个实数根。
如果 $\varphi ( a ) = 0$, 则：
$$
\varphi(a) = f ( a ) – f ( a – 1 ) = 0
$$
因此，当 $\varphi ( a ) = 0$ 的时候，能使方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 成立的实数根就是 $x = a$, 也能说明存在至少一个实数根。
综上可知，方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ 在区间 $[ a , a + 1]$ 上至少存在一个实数根，证毕。
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