看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法

一、题目

已知，函数 $f (x)$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：

方程 $f (x)$ $-$ $f (x - 1)$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[a, a + 1]$ 上都至少有一个实根。

难度评级：

Note

分析可知，若令 $φ (x)$ $=$ $f (x)$ $-$ $f (x - 1)$ , 其中 $x \in [a, a + 1]$ , 则题目要证明的其实就是函数 $φ (x)$ 在区间 $[a, a + 1]$ 上至少有一个实数根。
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首先，当 $x = a$ 时：

$φ (a) = f (a) - f (a - 1)$

接着，当 $x = a + 1$ 时：

$φ (a + 1) = f (a + 1) - f (a)$

又因为 $f (x)$ 是周期 $T$ 为 $2$ 的函数，因此：

$f (a + 1) = f (a - 1)$

Tip

$a + 1$ $-$ $(a - 1)$ $=$ $2$ $=$ $T$
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所以：

$φ (a) = f (a - 1) - f (a) = - φ (a)$

因此，当 $φ (a) \neq 0$ 的时候， $φ (a)$ 与 $- φ (a)$ 一定是异号的，因此，在区间任一长度为 $1$ 的区间 $[a, a + 1]$ 之间一定存在至少一个实数根。

如果 $φ (a) = 0$ , 则：

$φ (a) = f (a) - f (a - 1) = 0$

因此，当 $φ (a) = 0$ 的时候，能使方程 $f (x)$ $-$ $f (x - 1)$ $=$ $0$ 成立的实数根就是 $x = a$ , 也能说明存在至少一个实数根。

综上可知，方程 $f (x)$ $-$ $f (x - 1)$ 在区间 $[a, a + 1]$ 上至少存在一个实数根，证毕。

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