2018 年研究生入学考试数学一选择题第 3 题解析

一、题目

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n$ $\frac{2n+3}{(2n+1)!}$ $=$__

( A ) $\sin$ $1$ $+$ $\cos 1$.

( B ) $2$ $\sin 1$ $+$ $\cos 1$.

( C ) $2$ $\sin 1$ $+$ $2$ $\cos 1$.

( D ) $2$ $\sin 1$ $+$ $3$ $\cos 1$.

二、解析

看到求和与阶乘，我们应该想到使用麦克劳林公式，因为麦克劳林公式中也包含求和运算与阶乘运算。因此，我们解答本题的入手点就是通过等价变形的方式把题目中的式子往常用的麦克劳林公式上凑。

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{2n+3}{(2n+1)!}$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{2n+1+2}{(2n+1)!}$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{2n+1}{(2n+1)!}$ $+$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{2}{(2n+1)!}$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{1}{(2n)!}$ $+$ $2$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{1}{(2n+1)!}$.

注意：上面式子中 “$\sum$” 符号前面的 “$2$” 特别容易在计算过程中丢掉，一定要记着带上！！！

我们知道在常用的五个函数的麦克劳林公式中，存在 “$(2n+1)!$” 和 “$(2n)!$” 是下面两个公式：

$\sin x$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $x$ $\in R$;

$\cos x$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$, $x$ $\in$ $R$.

当我们令 $x$ $=$ $1$ 时，就有：

$\sin x$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{1}{(2n+1)!}$

$\cos x$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{1}{(2n)!}$

于是我们就有：

原式 $=$ $\cos 1$ $+$ $2$ $\sin 1$ $=$ $2$ $\sin 1$ $+$ $\cos 1$.

综上可知，正确选项是：D

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