当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值

一、题目

设 $f (x)$ $=$ $(x^{2025} - 1) g (x)$ , 其中 $g (x)$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，且 $g (1)$ $=$ $1$ , 则 $f^{'} (1)$ $=$ $?$

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二、解析

由 $g (x)$ 在 $x$ $=$ $1$ 处连续，并不能推出 $g (x)$ 在 $x$ $=$ $1$ 处可导，因此，也就推不出 $f (x)$ 在 $x$ $=$ $1$ 处可导，因而不能对 $f (x)$ 使用求导公式计算之后，再代入 $x$ $=$ $1$ 计算 $f^{'} (1)$ 的值。

综上，对 $f^{'} (1)$ 的计算，只能使用一点处导数的定义：

$\begin{aligned} f^{'} (1) \\ = lim_{x \to 1} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} \frac{(x^{2025} - 1) g (x) - (1 - 1) g (1)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} \frac{(x^{2025} - 1) g (x) - 0}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} \frac{[(x - 1) (x^{2024} + x^{2023} + \dots + x + 1)] g (x)}{x - 1} \\ = lim_{x \to 1} (x^{2024} + x^{2023} + \dots + x + 1) g (x) \\ = (1 + 1 + \dots + 1) g (1) \\ = 2025 \cdot 1 = 2025 \end{aligned}$

在上面的计算过程中（橘红色文字部分）用了一个计算技巧，我们可以简单的用下面的式子记住这个技巧： ${\begin{cases} (x^{2} - 1) = (x - 1) (x + 1) \\ (x^{3} - 1) = (x - 1) (x^{2} + x + 1) \\ (x^{4} - 1) = (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) \\ ⋮ \end{cases}$

当不知道抽象函数在某点处的可导性时，只能用一点处导数的定义求解该函数在指定点处的导数值

一、题目

二、解析

高等数学

线性代数

特别专题

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