一点处连续与存在的区别：连续性要考虑“邻居”，存在性只需要考虑“自己”

一、题目

(A). $f^{\prime }(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在

(B). $f^{\prime }(0)$ 存在, $f^{\prime \prime }(0)$ 存在

(C). $f^{\prime }(0)$ 存在, $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在

(D). $f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

难度评级：

二、解析

存在性的判断

本题 A, B, C 选项都是在问我们一阶导 $f^{\prime }(x)$ 和二阶导 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 这个点处的存在性。

对于一点处导数或者函数值的存在性问题，我们直接利用相关公式或定理，对这一点处的导数值或者函数值进行计算即可，如果能得出一个常数值，就是存在的，否则，就是不存在的。

首先，有题目可知：

$$f(x)=\ln (1+x^{\frac{2}{3}})–x^{\frac{2}{3}}$$

于是：

$$\begin{array}{r}f(0)\\ & =\ln (1+0)–0\\ & =0\end{array}$$

同时，由于接下来的计算中会用到洛必达法则，所以，在这里我们首先利用求导公式计算一下当 $x\ne 0$ 时 $f^{\prime }(x)$ 的表达式：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)\\ & ={[\ln (1+x^{\frac{2}{3}})–x^{\frac{2}{3}}]}^{\prime }\\ \\ & =\frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}\cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}–\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\\ \\ & =\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\left(\frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}–1\right)\end{array}$$

于是，对于一阶导，由一点处导数的定义可得：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(0)\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x–0}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x^{\frac{2}{3}})-x^{\frac{2}{3}}}{x}\\ \\ & \underrightarrow{\text{洛必达运算 }}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}(\frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}-1)\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{3x^{\frac{1}{3}}}\cdot \frac{-x^{\frac{2}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}}\\ \\ & =\frac{-2}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{\frac{1}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}}\\ \\ & =\frac{-2}{3}\cdot \frac{0}{1+0}\\ \\ & =0\end{array}$$

对于二阶导，由一点处导数的定义可得：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime \prime }(0)\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0)}{x–0}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\left(\frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}–1\right)}{x}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{-2}{3}{x}^{\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}}{x}\\ \\ & =\frac{-2}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{\frac{1}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}}\cdot \frac{1}{x}\\ \\ & =\frac{-2}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}(1+x^{\frac{2}{3}})}\cdot \frac{1}{x}\\ \\ & =\frac{-2}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}(1+x^{\frac{2}{3}})}\\ \\ & =\frac{-2}{3}\cdot \frac{1}{0}\\ \\ & =\mathrm{\infty }\end{array}$$

至此，我们已经知道，$f^{\prime }(0)$ 存在，但 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在，所以，对于单选题而言，我们在这里可以直接判断出 C 选项正确。

但是，如果是出于练习目的，我们还是要看一下 D 选项为什么不正确。

连续性的判断

由于连续性是建立在一个领域上的概念，因此，对于邻域的判断我们就不能像前面一样考虑“一点处的导数值”了，而应该检查“一点处的导数值”与“该点附近的导数值”是否相等：

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}{f}^{\prime }(x)\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}(\frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}-1)\\ \\ & =\frac{-2}{3}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^{\frac{1}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}}\\ \\ & =\frac{-2}{3}\cdot \frac{0}{1+0}\\ \\ & =0\\ \\ & =f^{\prime }(0)\end{array}$$

于是可知，$f^{\prime }(x)$ 在 $x=0$ 处连续，选项 D 不正确。

综上可知，本 题 应 选 C