一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)$ $-$ $x^{\frac{2}{3}}$, 则下面说法正确的是哪一个？
(A). $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(B). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在
(C). $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
(D). $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
难度评级：
二、解析 
存在性的判断
本题 A, B, C 选项都是在问我们一阶导 $f^{\prime}(x)$ 和二阶导 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x = 0$ 这个点处的存在性。
对于一点处导数或者函数值的存在性问题，我们直接利用相关公式或定理，对这一点处的导数值或者函数值进行计算即可，如果能得出一个常数值，就是存在的，否则，就是不存在的。
首先，有题目可知：
$$
f(x) = \ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right) – x^{\frac{2}{3}}
$$
于是：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{f(0)} \\
& = \ln (1 + 0) – 0 \\
& = \textcolor{springgreen}{0}
\end{aligned}
$$
同时，由于接下来的计算中会用到洛必达法则，所以，在这里我们首先利用求导公式计算一下当 $x \neq 0$ 时 $f^{\prime}(x)$ 的表达式：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{f^{\prime}(x)} \\
& = \left[ \ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right) – x^{\frac{2}{3}} \right]^{\prime} \\ \\
& = \frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} – \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \left( \frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}} – 1 \right)}
\end{aligned}
$$
于是，对于一阶导，由一点处导数的定义可得：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{f^{\prime}(0)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x – 0} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}}{x} \\ \\
& \underrightarrow{\text{洛必达运算 \ }} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}\left(\frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}-1\right) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{\textcolor{red}{-x^{\frac{2}{3}}}}{1+x^{\frac{2}{3}}} \\ \\
& = \textcolor{red}{\frac{-2}{3}} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}} \\ \\
& = \textcolor{red}{\frac{-2}{3}} \cdot \frac{0}{1 + 0} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{0}
\end{aligned}
$$
对于二阶导，由一点处导数的定义可得：
$$
\begin{aligned}
f^{\prime \prime}(0) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x – 0} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} \left( \frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}} – 1 \right)}{x} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{-2}{3} x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}}{x} \\ \\
& = \frac{-2}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x} \\ \\
& = \frac{-2}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}\left( 1+x^{\frac{2}{3}} \right)} \cdot \frac{1}{x} \\ \\
& = \frac{-2}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)} \\ \\
& = \frac{-2}{3} \cdot \frac{1}{0} \\ \\
& = \infty
\end{aligned}
$$
至此，我们已经知道，$f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在，所以，对于单选题而言，我们在这里可以直接判断出 C 选项正确。
但是，如果是出于练习目的，我们还是要看一下 D 选项为什么不正确。
连续性的判断
由于连续性是建立在一个领域上的概念，因此，对于邻域的判断我们就不能像前面一样考虑“一点处的导数值”了，而应该检查“一点处的导数值”与“该点附近的导数值”是否相等：
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}\left(\frac{1}{1+x^{\frac{2}{3}}}-1\right) \\ \\
& = \frac{-2}{3} \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}} \\ \\
& = \frac{-2}{3} \cdot \frac{0}{1+0} \\ \\
& = 0 \\ \\
& = f^{\prime}(0)
\end{aligned}
$$
于是可知，$f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，选项 D 不正确。
综上可知，本 题 应 选 C 