题目
设随机变量 $Y$ 服从参数为 $1$ 的指数分布，$a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=$ __.
解析
本题涉及的知识点是指数分布。
指数分布中随机变量的取值区间是 $[0,\infty),$ 如果一个随机变量呈指数分布，则可以记作：
$$X \sim E(\lambda),(\lambda > 0).$$
在指数分布（以及其他连续性随机变量的概率模型）中有两个和概率有关的函数，分别是“概率密度函数”和“概率分布函数”。
首先我们需要搞清楚“概率密度函数”和“概率分布函数”的区别，这样我们才能知道该用哪个公式解答本题。
概率密度函数
连续性随机变量中的“概率密度函数”对应于离散型随机变量中的“概率函数”。概率密度函数描述的是单独一个特定的随机变量的概率。
指数分布的概率密度函数公式表示如下：
$$f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0& \\ 0,x \leqslant 0& \end{matrix}\right.$$
上面的概率密度函数中，$x$ 为随机变量。
概率分布函数
连续性随机变量中的“概率分布函数”对应于离散型随机变量中的“概率分布列表”。概率分布函数描述的是一系列（通常是整个概率模型取值范围内）的随机变量对应的概率。
指数分布的概率分布函数公式表示如下：
$$F(x;\lambda )=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x},x \geqslant 0& \\ 0,x < 0& \end{matrix}\right.$$
上面的概率分布函数中，$x$ 为随机变量，$\lambda$ 为率参数，$\lambda$ 描述的是每单位时间内发生某事件的次数。
根据上面的概率分布函数，我们知道，在服从参数 $\lambda$ 的指数分布中，我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率：
$$P{X \leqslant x}=F(x)=1-e^{-\lambda x},(x>0)$$
此外，如果令 $\theta = \frac{1}{\lambda},$ 则在服从参数为 $\theta$ 的指数分布中，我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率：
$$P{X \leqslant x}=F(x)=1-e^{- \frac{x}{\theta }},(x>0)$$
经过上面的分析，再结合题目中给出的信息，我们现在知道，应该使用指数分布中的概率分布函数解答本题。
由于该指数分布的参数为 $1$, 于是我们知道 $\lambda = 1.$
之后，根据条件概率公式：
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} , (P(A) > 0.)$$
我们可以对原式作如下转换：
$$P{Y \leqslant a+1 | Y>a}=\frac{P(Y \leqslant a + 1) \cap P(Y > a)}{P(Y>a)}=$$
$$\frac{P( a < Y \leqslant a+1)}{P(Y>a)}=$$
$$\frac{ F(a+1)-F(a)}{ 1 – F(a) }=$$
$$\frac{1-e^{-(a+1)}-(1-e^{-a})}{1-(1-e^{-a})}=$$
$$\frac{-e^{-(a+1)}+e^{-a}}{e^{-a}}=$$
$$\frac{e^{-a}-e^{-a-1}}{e^{-a}}=$$
$$\frac{e^{-a}(1-e^{-1})}{e^{-a}}=1-e^{-1}.$$
综上可知，本题的正确选项是：$1-e^{-1}$.
EOF