2013 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,a 为常数且大于零,则 P{Ya+1|Y>a}= __.

解析

本题涉及的知识点是指数分布。

指数分布中随机变量的取值区间是 [0,), 如果一个随机变量呈指数分布,则可以记作:

XE(λ),(λ>0).

在指数分布(以及其他连续性随机变量的概率模型)中有两个和概率有关的函数,分别是“概率密度函数”和“概率分布函数”。

首先我们需要搞清楚“概率密度函数”和“概率分布函数”的区别,这样我们才能知道该用哪个公式解答本题。

概率密度函数

连续性随机变量中的“概率密度函数”对应于离散型随机变量中的“概率函数”。概率密度函数描述的是单独一个特定的随机变量的概率。

指数分布的概率密度函数公式表示如下:

f(x)={λeλx,x>00,x0

上面的概率密度函数中,x 为随机变量。

概率分布函数

连续性随机变量中的“概率分布函数”对应于离散型随机变量中的“概率分布列表”。概率分布函数描述的是一系列(通常是整个概率模型取值范围内)的随机变量对应的概率。

指数分布的概率分布函数公式表示如下:

F(x;λ)={1eλx,x00,x<0

上面的概率分布函数中,x 为随机变量,λ 为率参数,λ 描述的是每单位时间内发生某事件的次数。

根据上面的概率分布函数,我们知道,在服从参数 λ 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

PXx=F(x)=1eλx,(x>0)

此外,如果令 θ=1λ, 则在服从参数为 θ 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

PXx=F(x)=1exθ,(x>0)

经过上面的分析,再结合题目中给出的信息,我们现在知道,应该使用指数分布中的概率分布函数解答本题。

由于该指数分布的参数为 1, 于是我们知道 λ=1.
之后,根据条件概率公式:

P(B|A)=P(AB)P(A),(P(A)>0.)

我们可以对原式作如下转换:

PYa+1|Y>a=P(Ya+1)P(Y>a)P(Y>a)=

P(a<Ya+1)P(Y>a)=

F(a+1)F(a)1F(a)=

1e(a+1)(1ea)1(1ea)=

e(a+1)+eaea=

eaea1ea=

ea(1e1)ea=1e1.

综上可知,本题的正确选项是:1e1.

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